정사각형의 성질
사각형의 정의와 성질, 조건
사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,
평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.
이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.
여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.
아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.
여러 사각형의 정의와 성질, 조건
| 사각형 | [정의]와 성질 | 조건 |
|---|---|---|
평행사변형 |
[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형]
|
|
| 평행사변형의 성질 | 평행사변형이 되는 조건 | |
직사각형 |
[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형]
|
|
| 직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건 | ||
마름모 |
[네 변의 길이가 모두 같은 사각형]
|
|
| 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건 | ||
정사각형 |
[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형]
|
|
| 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건 | ||
등변사다리꼴 |
[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형]
|
|
| 등변사다리꼴의 정의와 성질 | ||
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정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
이 글에서 내울 내용은 정사각형의 정의와 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건이에요.
사실 정사각형은 이미 1학년 때 공부한 적이 있어요. 내각과 외각을 배우는 과정에서 정다각형이라는 걸 배웠거든요. 정사각형은 정다각형의 한 종류에요.
정사각형은 새로운 내용을 배우진 않습니다. 앞에서 배웠던 사각형들 평행사변형, 직사각형, 마름모의 정의와 성질, 조건을 잘 기억하고 있으면 돼요. 새로운 내용을 공부한다기보다는 "앞에서 배웠던 사각형의 성질을 복습하는 구나" 정도로 생각하시면 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
정사각형의 정의
1학년 때 다각형, 정다각형 단원에서 정다각형의 정의를 배웠는데, 기억하고 있죠? 정다각형은 내각의 크기가 모두 같고, 변의 길이도 모두 같은 도형이라고 배웠어요.
정사각형은 각과 변이 4개씩 있으니까 네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 같은 사각형을 말하는 거죠.
네 각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형이에요. 또 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모지요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 만족시키는 사각형이네요. 집합으로 표시하면 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}가 돼요.
정사각형의 성질
정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모이기도 해요. 직사각형과 마름모는 평행사변형의 한 종류고요. 따라서 정사각형은 직사각형의 성질과 마름모의 성질, 평행사변형의 성질을 모두 가져요.
평행사변형의 성질, 직사각형의 성질, 마름모의 성질을 정리해보죠.
- 두 쌍의 대변의 길이가 같다. (평행사변형의 성질)
- 두 쌍의 대각의 크기가 같다. (평행사변형의 성질)
- 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다. (평행사변형의 성질)
- 두 대각선의 길이가 같다. (직사각형의 성질)
- 두 대각선은 서로 다른 대각선을 수직이등분한다. (마름모의 성질)
위에 나오는 성질 전부가 정사각형의 성질이에요. 이미 앞 글에서 다 증명을 했으니까 이 글에서는 증명을 생략하도록 할게요.
정사각형이 되는 조건
직사각형이 정사각형이 되는 조건
정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 직사각형이 정사각형이 되려면 추가로 마름모의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 직사각형은 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 직사각형이 정사각형이 되려면 평행사변형이 마름모가 되는 것과 같은 조건이 필요해요.
(직사각형이 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 마름모가 되는 조건)
이웃하는 두 변의 길이가 같다.
두 대각선이 서로 직교한다.
마름모가 정사각형이 되는 조건
마찬가지에요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 마름모가 정사각형이 되려면 추가로 직사각형의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 마름모도 역시 평행사변형의 한 종류라서 마름모가 정사각형이 되려면 평행사변형이 직사각형이 되는 것과 같은 조건이 필요해요.
(마름모가 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 직사각형이 되는 조건)
한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같다.
두 대각선의 길이가 같다.
□ABCD가 정사각형일 때, 아래 물음에 답하여라.
(1) ∠BOC의 크기를 구하여라.
(2) △OBC는 어떤 삼각형인가?
(1) □ABCD가 정사각형이므로 마름모의 성질을 가지고 있어요. 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하지요. 따라서 ∠BOC = 90°에요.
(2) □ABCD가 정사각형이므로 직사각형의 성질을 가지고 있어요. 직사각형의 성질에 따르면 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 성질에 따르면 대각선은 서로를 이등분하지요. 
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