수학방

폄면에서 두 직선의 위치관계에서 두 직선은 만나는 경우와 만나지 않는 경우가 있었어요. 만나는 경우는 2가지였으니까 전체 총 3가지 경우가 있었죠. 한 점에서 만난다, 일치, 만나지 않는다(평행)

공간에서 두 평면의 위치 관계는 한 점(교점)이 아니라 한 직선(교선)에서 만난다는 것 빼고는 평면에서 두 직선의 위치 관계와 똑같아요. 한 직선에서 만난다. 일치, 평행

두 평면 사이의 수직 관계

공간에서 평면과 직선의 수직에서 평면과 평면에 있지 않는 직선이 수직으로 만나는 경우를 공부했는데요. 평면 Q와 수직인 직선 l이 평면 P에 포함할 때, 평면 P와 평면 Q도 서로 수직이에요. Q ⊥ l → P ⊥ Q

두 평면 사이의 거리

평행한 두 평면 P, Q사이에는 거리를 구할 수 있어요. 평행하지 않은 평면 사이의 거리는 구할 수 없고요. 평행하지 않으면 사이가 일정하지 않으니까 위치에 따라 값이 달라지잖아요.

평행한 두 평면 중 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이를 평행한 두 평면 P, Q 사이의 거리라고 하고, 이 거리는 두 평면 사이 어디에서든 일정해요.
$P\quad\parallel\quad Q\quad\rightarrow\quad\overline{AB}\quad=\quad\overline{CD}$

반대로 서로 다른 점에서 구한 거리가 일정하면 두 평면은 평행이에요.

위치 관계가 여러 개 나와서 헷갈릴 수 있으니 한 번 정리하고 넘어가죠.

육하원칙 중에 어디에서 무엇을 이라는 항목이 있어요. 위치 관계에서는 어디에서 무엇들의 위치 관계인지가 중요해요.

어디에서에 해당하는 게 평면과 공간이에요. 이 두 곳에서 여러 항목들의 위치 관계를 따져요.

무엇들의 위치 관계를 따지느냐면 점과 직선, 점과 평면, 두 직선, 직선과 평면, 두 평면이에요.

두 가지 항목 사이의 위치 관계를 따지는데, 평면에서는 평면과 다른 항목의 위치 관계를 따질 수 없죠? 그래서 평면에서는 점과 직선, 두 직선의 위치 관계만 다뤄요.

공간에서는 다 다룰 수 있는데, 평면에서의 위치 관계가 그대로 성립하고 여기에 새로 추가되거나 살짝 바뀌는 형태예요. 그러니까 평면에서의 위치 관계를 먼저 잘 알아두고, 공간에서는 똑같은 것, 추가되는 것, 바뀌는 것이 뭔지 이해하면 공부하기 더 쉬워요.

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 직선이 점을 지난다(= 직선 위의 점), 직선이 점을 지나지 않는다(= 점이 직선 위에 있지 않다.)
이 관계를 이용해서 공간에서 점과 직선, 점과 평면의 위치 관계를 쉽게 외울 수 있어요.

(평면에서 점과 직선의 위치 관계) = (공간에서 점과 직선의 위치 관계)
(평면에서 점과 직선의 위치 관계)에서 직선을 평면으로 = (공간에서 점과 평면의 위치 관계)

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 한 점에서 만난다. 일치, 평행
이걸 살짝 바꾸면 공간에서 두 직선, 직선과 평면, 두 평면의 위치 관계를 알 수 있어요.

(평면에서 두 직선의 위치 관계) + 꼬인 위치 = (공간에서 두 직선의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 일치를 포함으로 = (공간에서 직선과 평면의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 한 점을 한 직선으로 = (공간에서 두 평면의 위치 관계)

표로 정리해 보죠.

두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.

이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.

증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치

평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.

두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H

∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°

두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.

는 으로 y = mx + n의 기울기 즉 m이에요. 는 y = m'x + n'의 기울기 즉 m'이고요. 두 직선이 평행하면 기울기가 같다는 것을 알 수 있어요.

m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.

두 직선의 위치관계 - 수직

y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.

여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)

두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) =  -1이 되는군요.

수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.

y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?

y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n

y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.

y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3

y = 2x - 3이네요.

y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.

y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.

두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.

a + b = 1 + 3 = 4

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일차함수 그래프를 이용해서 연립방정식을 푸는 방법입니다.

약간 어려울 수도 있는 내용이에요. 일차함수와 직선의 방정식, 연립방정식의 개념이 섞여서 나오는 부분이라서요. 세 가지가 왔다 갔다 하니까 복잡할 수 있어요. 너무 어렵게 생각하지 마시고, 단순하게 "일차함수 = 직선의 방정식 = 연립방정식의 각 방정식"이라는 정도로 생각하고 보세요.

연립방정식이란에서 봤던 것처럼 연립방정식은 미지수가 2개인 일차방정식 두 개가 있는 걸 말하죠. 그리고 두 방정식을 모두 만족하는 (x, y)의 순서쌍을 연립방정식의 해라고 해요.

직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식은 미지수가 2개인 일차방정식이라고 했어요. 연립방정식에서의 방정식도 미지수가 2개인 일차방정식이죠?

그러니까 연립방정식은 직선의 방정식 2개가 묶인 것으로 생각해도 되겠죠?

일차함수의 그래프와 연립방정식

연립방정식의 그래프를 좌표평면 위에 그려볼까요?

연립방정식 의 그래프를 그리면 아래 그림처럼 돼요.

그래프는 직선의 방정식을 만족시키는 x, y의 순서쌍의 집합이죠. 그런데 그래프를 그렸더니 (4, 1)이라는 점에서 두 그래프가 만나요. 그래프가 만난다는 건 양쪽 모두 (4, 1)이라는 해를 가지고 있다는 뜻이네요.

실제로 연립방정식의 풀이법으로 연립방정식을 풀어보면 해가 x = 4, y = 1이 나와요.

그래프의 교점의 좌표가 연립방정식의 해와 같아요.

그래프의 교점 = 연립방정식의 해

연립방정식 의 해를 구하여라.

x + y = 2를 y에 관해서 풀면, y = -x + 2라는 일차함수가 돼요. 3x - y = -2는 y = 3x + 2가 되고요.

그래프를 그렸더니 아래처럼 됐어요.

두 그래프의 교점이 연립방정식의 해니까 교점인 (0, 2)가 해가 되겠네요. 따라서 해는 x = 0, y = 2가 되는군요.

두 직선의 위치와 연립방정식의 해

직선의 교점이 바로 연립방정식의 해에요. 따라서 교점의 개수와 해의 개수는 같아요.

두 직선이 한 점에서 만날 때 - 교점이 하나일 때

위 예제에서는 두 그래프가 한 점에서만 만났어요. 그러니까 해도 한 개만 있죠?

일차함수 그래프의 평행과 일치에서 보면 일차함수의 그래프의 기울기가 같으면 그래프가 평행이거나 일치하죠? 기울기가 다르면 한 점에서 만나요.

일차함수에서는 기울기를 바로 구할 수 있는데, 직선의 방정식에서는 기울기를 구하려면 y에 관해서 풀어야 해요.

매번 그럴 수는 없잖아요. 그래서 간단하게 기울기가 같은지 알 수 있는 방법을 이용해요. 바로 계수의 비를 비교하는 거예요. x 계수의 비와 y 계수의 비가 다르면 두 직선의 기울기가 달라요.

기울기가 다르다 = 그래프의 교점이 한 개 = 연립방정식의 해는 하나 = 연립방정식의 x 계수의 비와 y 계수의 비가 다르다

두 직선이 평행일 때 - 교점이 없을 때

그래프가 평행일 때는 어떨까요? 연립방정식의 해는 그래프의 교점인데, 그래프가 평행이니까 교점이 없어요. 그 말은 해가 없다는 뜻이겠죠?

일차함수의 그래프가 평행이려면 어떤 조건이 있어야 하죠? 기울기는 같고, y절편은 달라야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 하나도 없을 때는 x와 y 계수의 비는 같지만 상수항의 비는 다를 때라는 걸 이미 배웠잖아요.

이 두 개를 연결해 볼까요?

기울기가 같고 y 절편이 다르다. = 그래프가 평행 = 교점이 없다 = 해가 없다 = 연립방정식의 x, y 계수의 비는 같고 상수항의 비는 다르다

두 직선이 일치할 때

그래프가 일치하면 교점의 개수는 무수히 많아요. 교점의 교수가 무수히 많다는 건 해가 무수히 많다는 거고요.

그래프가 일치하려면 어때야 하죠? 기울기가 같고 y절편도 같아야 해요.

연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y 계수의 비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요

마찬가지로 일차함수의 그래프가 평행일 조건과 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건을 연결해볼까요?

기울기가 같고 y 절편도 같다 = 그래프가 일치 = 교점이 무수히 많다 = 해가 무수히 많다 = 연립방정식의 계수의 비와 상수항의 비가 같다.

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일차함수의 활용

일차함수의 그래프에서 웬만한 건 다 다루었어요. 일차함수 y = ax + b 그래프에서 a가 무엇을 의미하는지, a의 부호에 따라서 그리고 b의 부호에 따라서 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는 지 등이요.

일차함수 y=ax+b 그래프의 특징

일차함수를 보면 기울기와 y절편이 바로 눈에 띄죠? 두 개의 일차함수 y = ax + b, y = cx + d가 있다고 할 때, 기울기와 y절편을 비교해서 두 일차함수의 그래프가 평행한지 일치하는지 알아보죠.

일차함수 그래프의 평행

평면에서 두 직선이 서로 만나지 않는 걸 평행이라고 해요. 그러니까 일차함수 그래프가 평행하다는 말은 서로 만나지 않는다는 뜻이죠.

y = ax + b의 그래프는 y = ax 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것이라고 했어요. 두 그래프는 서로 만나지 않아요. 그럼 두 그래프는 평행한 것이죠. 사실 평행이동을 했으니까 당연히 평행할 수밖에 없어요.

두 함수를 비교해볼게요. x, y는 변수니까 바뀔 수 있어서 비교할 수가 없어요. a, b는 상수라서 일정하죠. 두 그래프에서 기울기가 모두 a로 같아요. 그리고 y 절편이 b와 0으로 달라요. 여기서 일차함수의 그래프가 평행하려면 어떤 조건인지 알 수 있어요.

두 일차함수 그래프가 평행하려면: 기울기가 같고, y 절편은 다르다
y = ax + b와 y = cx + d에서 a = c이고 b ≠ d → 평행

일차함수 그래프의 일치

일차함수의 그래프가 일치한다는 건 그래프가 포개진다는 뜻이죠. 포개진다는 건 그래프에서 같은 점 위에 있다는 뜻이고요. 함수식이 같다는 얘기예요.

y = ax + b와 y = cx + d라는 두 일차함수가 일치하려면 a = c, b = d라는 것이죠.

두 일차함수의 그래프가 일치하려면: 기울기가 같고, y 절편이 같다.
y = ax + b와 y = cx + d 에서 a = c 이고 b = d → 일치

일차함수 y = 2x + 1의 그래프와 평행인 일차함수와 일치하는 일차함수를 각각 1개씩 적으시오.

먼저 문제에서 주어진 함수에서 기울기는 2, y절편은 1이네요. 평행한 것은 기울기가 같고 y절편이 다른 함수니까 기울기는 2일 테고, y 절편은 1만 아니면 돼요. y = 2x + 2도 될 수 있고, y = 2x - 1도 될 수 있겠네요. 그 개수가 매우 많아요.

일치하는 함수는 기울기도 같고, y 절편도 같아요. 같은 식이라는 거죠. y = 2x + 1이 되겠네요. 일치하는 일차함수는 딱 한 개예요.

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