수학방

로그함수 y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)는 a > 1이면 증가함수, 0 < a < 1이면 감소함수예요. 정의역이 양의 실수 전체의 집합이면 최솟값은 0에 한없이 가까워지고, 최댓값은 그 끝을 알 수 없어요.

따라서 최대, 최소를 구한다는 건 정의역이 제한된 범위를 갖는다는 뜻이에요.

지수함수의 최대, 최소와 마찬가지로 양쪽 경계에서 최댓값 또는 최솟값을 갖죠.

a > 1일 때는 로그함수가 증가함수라서 x가 증가하면 y도 증가하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최솟값, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

0 < a < 1일 때는 로그함수가 감소함수라서 x가 증가하면 y는 감소하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최댓값, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

정의역이 {x|m ≤ x ≤ n}일 때, y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)은

• a > 1일 때, x = m에서 최솟값 y = log_am, x = n일 때 최댓값 y = log_an
• 0 < a < 1일 때, x = m에서 최댓값 y = log_am, x = n일 때 최솟값 y = log_an

다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = log₃(x + 4) - 2       (-3 ≥ x ≥ 5)
(2) y = log${}_{\frac{1}{2}}$(x - 2) + 1       (4 ≥ x ≥ 10)

(1) 밑이 3으로 1보다 크니까 증가함수예요. 경계 중 작은 값에서 최솟값을 갖고, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

y = log₃(x + 4) - 2

x = -3일 때, 최솟값
log₃(-3 + 4) - 2
= log₃1 – 2
= 0 – 2
= -2

x = 5일 때, 최댓값
log₃(5 + 4) - 2
= log₃9 – 2
= log₃3² – 2
= 2 – 2
= 0

(2) 밑이 $\frac{1}{2}$로 0보다 크고 1보다 작으니까 감소함수예요. 경계 중 작은 값에서 최댓값을 갖고, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

y = log${}_{\frac{1}{2}}$(x - 2) + 1

x = 10일 때, 최솟값
log${}_{\frac{1}{2}}$(10 - 2) + 1
= log${}_{\frac{1}{2}}$8 + 1
= log${}_{2^{-1}}$2³ + 1
= -3 + 1
= -2

로그함수를 이용해서 수의 대소를 비교할 수 있어요.

로그함수 y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)는 다음과 같은 성질이 있어요.

• a > 1일 때 증가함수. x가 증가하면 y도 증가. x₁ < x₂이면, y₁ < y₂
• 0 < a < 1일 때 감소함수. x가 증가하면 y는 감소. x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

그래프를 생각하면 쉬워요.

a > 1일 때, 진수 x가 크면 함숫값 y도 커요.

0 < a < 1일 때, 진수 x가 크면 함숫값 y는 작아요.

대소를 비교할 두 수를 밑이 같은 로그 꼴로 나타내요. 그 다음 밑이 1보다 큰지 작은지를 보고, 진수의 크기를 비교해서 두 수 중 어느 수가 더 큰지를 알 수 있어요.

다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) 4, log₂8         (2) log${}_{\frac{1}{2}}$5, 3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$

(1)

4 → 4log₂2 = log₂2⁴ = log₂16

log₂8

진수를 비교해보죠. 16 > 8로 16이 더 커요.

밑이 2로 1보다 크니까 x가 증가하면 y도 증가해요. a > 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ < y₂

진수가 크면 수가 더 크니까 4 > log₂8이에요.

(2)

log${}_{\frac{1}{2}}$5

3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ = log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}^{3}$

진수를 비교해보죠. 5 > $\sqrt{3}^{3}$으로 $\sqrt{3}^{3}$이 더 커요.

밑이 $\frac{1}{2}$로 1보다 작으니까 x가 증가하면 y는 감소해요. 0 < a < 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

진수가 크면 수가 더 작으니까 log${}_{\frac{1}{2}}$5 > 3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$이에요.