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2015 교육과정 수학 1과 2022 교육과정 대수가 목차가 같아 하나로 작성하였습니다.

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대수

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로그부등식은 로그방정식 + 지수부등식이에요. 기본적으로 로그라는 기본 틀이 같으니까 로그방정식의 풀이법을 따르는데 식 자체가 부등식이니까 지수부등식에 나왔던 내용과 비슷하죠.

로그부등식을 풀 때 이용하는 성질은 로그함수의 그래프를 생각하면 쉽게 이해할 수 있어요. 로그함수의 그래프는 밑이 1보다 클 때와 0보다 크고 1보다 작을 때의 두 가지가 있었죠? 그래서 로그부등식을 푸는 기본 성질도 두 가지가 있어요.

이 두 가지 성질만 잘 이해하면 로그부등식의 문제를 푸는 게 아주 쉬워요.

로그부등식

로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 방정식이죠? 그러니까 로그부등식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식을 말해요.

지수부등식, 지수부등식의 풀이에서 지수함수의 그래프를 이용해서 지수부등식을 설명했어요. 로그부등식에서도 로그함수의 그래프를 이용해서 설명할게요.

로그함수 y = log_ax 그래프는 밑인 a의 크기에 따라 함수의 특징이 달라졌어요. a > 1일 때는 x가 증가하면 y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

아래는 a > 1일 때의 y = log_ax 그래프예요.

로그함수의 그래프 (a > 1일 때)

밑이 1보다 큰 로그함수는 증가함수니까 x₁ < x₂이면 log_ax₁ < log_ax₂이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 같아요.

이번에는 0 < a < 1일 때의 y = log_ax 그래프예요.

로그함수의 그래프 (0 < a < 1일 때)

밑이 0보다 크고 1보다 작은 로그함수는 감소함수니까 x₁ < x₂이면 log_ax₁ > log_ax₂이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 반대예요.

임의의 양수 x₁, x₂에 대하여 a > 0, a ≠ 1일 때
a > 1일 때
- log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ < x₂
- (로그부등식의 부등호의 방향) = (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ > x₂
- (로그부등식의 부등호의 방향)과 (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

로그부등식을 풀 때는 이 성질을 이용해요. 이 성질은 지수부등식, 지수부등식의 풀이에서의 특징과 같아요.

이건 밑이 같을 때예요. 만약에 밑이 다르면 어떻게 해야 할까요? 간단해요. 로그의 성질이나 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 만들어 주면 돼요.

지수에 로그가 있을 때는 로그를 취해서 풀어요.

공통부분이 있다면 치환을 하고요.

로그방정식에서 했던 것과 똑같죠?

그러니까 로그부등식은 지수부등식 + 로그방정식이에요.

그리고 로그부등식을 풀 때 절대 빠뜨리면 안 되는 게 한 가지 있어요. 바로 밑이 1이 아닌 양수, 진수가 양수인지 꼭 확인하는 거요. 로그의 정의에서 얘기한 밑과 진수의 조건에 맞는지 확인하는 거죠. 로그방정식에서도 중요한 내용이었어요.

다음 로그부등식의 해를 구하여라.
(1) log₂(x + 1) < 4
(2) log₃x ≥ log₉x
(3) (logx)² - logx < 6

(1)은 좌변은 로그, 우변은 그냥 실수네요. 우변에 log₂2 = 1을 곱해보죠.

log₂(x + 1) < 4
log₂(x + 1) < 4log₂2
log₂(x + 1) < log₂2⁴

양변의 밑이 2로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x + 1 < 2⁴
x < 15

여기서 끝이 아니죠? 로그의 진수는 양수여야 하니까 좌변의 진수 x + 1도 양수여야 해요.

x + 1 > 0
x > -1

따라서 해는 -1 < x < 15

(2)번은 양변의 밑이 서로 다르네요. 로그의 성질을 이용해서 밑을 같게 만들어줘야 해요.

양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x² ≥ x
x² - x ≥ 0
x(x - 1) ≥ 0

x ≤ 0 or x ≥ 1

진수 x²과 x가 양수여야 하죠?

x² > 0
x ≠ 0

x > 0

따라서 해는 x ≥ 1

(3)에는 밑이 없네요. 상용로그란 얘기죠. logx = t로 치환해보죠.

(logx)² - logx < 6
t² - t < 6
t² - t - 6 < 0
(t - 3)(t + 2) < 0
-2 < t < 3

-2 < logx < 3
-2log10< logx < 3log10
log10^-2 < logx < log10³

밑이 10으로 같고 1보다 크니까 부등호의 방향과 진수의 방향이 같아요.

10^-2 < x < 10³

진수 x는 0보다 커야하죠? x > 0

따라서 해는 < x < 1000

정리해볼까요

로그부등식: 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식

임의의 양수 x₁, x₂에 대하여 a > 0, a ≠ 1일 때
a > 1일 때
- log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ < x₂
- (로그부등식의 부등호의 방향) = (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ > x₂
- (로그부등식의 부등호의 방향)과 (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

로그방정식

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수열

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로그의 성질 두 번째예요. 로그의 성질 첫 번째는 로그의 정의를 이용해서 유도했어요. 로그의 성질 두 번째는 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 유도해요.

여기서 공부한 성질까지 합쳐서 로그의 성질 모두를 외워야 합니다. 이름만 성질이고, 실제 내용은 공식이에요. 로그의 성질을 알고 있어야 로그의 계산을 할 수 있어요.

로그의 계산은 단순한 사칙연산에 불과하니까 로그의 성질만 알고 있다면 금방 풀 수 있어요.

로그의 성질 두 번째

로그의 성질 네 가지를 공부했었는데, 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 새로운 로그의 성질을 유도할 수 있어요. 여기서도 네 가지를 유도해보죠.

밑과 진수에 모두 지수가 있을 때예요. c(c > 0, c ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 성질에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있었죠? 그것처럼 밑의 지수도 앞으로 가져올 수 있어요. 밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 가져와요.

로그의 성질에서 네 번째 성질과 비슷하니까 하나로 합쳐서 아래처럼 바꿀 수 있겠죠?

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, m, n이 실수일 때

이렇게 네 개는 꼭 외우세요.

이번에는 밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱해보죠.

밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱하면 1이에요.

지수에 로그가 있을 때 로그의 성질

처럼 지수에 로그가 있을 때도 있어요. 특히 지수의 밑과 로그의 밑이 a로 같아요.

= t라고 하고 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

네 번째 줄에서 두 로그의 값이 같을 때, 밑이 a로 같으니까 진수끼리도 같아야 해서 b = t이에요.

마지막 줄에서는 = t라고 했으니까 대입했고요.

결과는 지수의 밑과 로그의 밑이 같으면 진수만 남는다는 거예요.

이번에는 를 보죠. 이때는 지수의 밑은 a, 로그의 밑은 c로 서로 달라요.

= t라고 하고 양변에 c를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서는 로그의 성질을 이용해서 진수의 지수를 로그 앞으로 내렸다면 다섯 번째 줄에서는 반대로 로그 앞에 있던 log_ca를 진수 b의 지수로 올렸어요.

마지막 줄에서는 = t라고 했으니까 대입했고요

생긴 게 좀 이상하죠? 지수에 있는 로그의 밑은 둘 다 c로 같은데, 지수의 밑과 로그의 진수가 서로 자리를 바꿨죠? 양쪽의 지수에 밑이 같은 로그가 있을 때는 지수의 밑과 로그의 진수를 서로 바꿔도 같다는 거예요.

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂3 × log₃4
(2)

(1) log₂3 × log₃4
= log₂3 × log₃2²
= 2 × log₂3 × log₃2
= 2

밑과 진수가 서로 바뀐 두 로그의 곱은 1이에요. 그래서 앞에 2만 남았어요.

(2) 밑과 진수가 바뀐 두 로그인데 곱이 아니라 덧셈이에요.

정리해볼까요

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수 일 때
로그의 성질 두 번재

로그의 밑 변환 공식

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상용로그

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로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

a^x = b를 로그로 변환해보죠.
a^x = b ⇔ log_ab = x …… ①

a^x = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 1 증명

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 2², b = 2³이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 3³, b = 3⁴니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 a^x = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 2 증명

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? log_bb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log₄2
(2) log₂3 × log₃4

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

로그의 밑 변환 공식 예제 풀이 2

정리해볼까요

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

로그의 성질

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로그의 성질 두 번째

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로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.

로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.

로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.

로그의 성질

a⁰ = 1, a¹ = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a⁰ = 1 ⇔ log_a1 = 0
a¹ = a ⇔ log_aa = 1

진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.

a^x = M, a^y = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x …… ①
a^y = N ⇔ log_aN = y …… ②

이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x × a^y = a^{x + y} = MN ⇔ log_aMN = x + y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
log_aMN = log_aM + log_aN

이번에는 a^x = M을 a^y = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.

a^x ÷ a^y = a^{x - y} = ⇔ = x - y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면

진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.

이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.

a^x = M = L^k이라고 해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x
a^x = L^k ⇔ log_aL^k = x …… ③

③에서 log_aL^k = x니까 위 식의 x에 대입하면 log_aL^k = klog_aL이 성립해요.

진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.

로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.

아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
(2)
(3)

(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
= 1 + log₂2² + log₂2³
= 1 + 2log₂2 + 3log₂2
= 1 + 2 + 3
= 6

하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.

log₂2 + log₂4 + log₂8
= log₂(2 × 4 × 8)
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6

(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₃2는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.

(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₄2는 (2)번의 log₃2와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.

정리해볼까요

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

로그의 정의

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로그 밑의 변환 공식

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로그입니다. 로그는 새로운 내용인데, 다행히도 거듭제곱과 거듭제곱근의 친구예요. 절친 중의 절친이죠. 셋이 서로 정말 닮아있어요.

로그는 거듭제곱과 거듭제곱근에 대해서 잘 이해하고 있다면 쉽게 할 수 있어요. 계산이 어렵지도 않고 지수에서 했던 내용이 많이 나오거든요. 거듭제곱의 다른 이름이 지수니까요.

첫 번째 시간이니까 로그의 정의에 대해서 확실히 이해하세요. 정의만 잘 이해하면 계산은 그냥 하나도 어렵지 않은 단지 귀찮은 지수법칙 계산일 뿐이에요.

로그의 정의

a^x = b라는 식이 있다고 해보죠?

만약에 a, x는 알고 있는데, b를 모른다고 해보죠. 그럼 b를 어떻게 구하나요? a를 x번 곱해서 b를 구하겠죠? 이걸 거듭제곱이라고 불러요. b = a^x 지수법칙, 지수함수도 같은 부류죠.

이번에는 x, b는 알고 있는데 a를 모른다고 해보죠. 여기서 a는 x제곱해서 b가 되는 수로 거듭제곱근을 이용해서 구할 수 있어요.

마지막으로 a, b는 알고 있는데 x를 모른다고 해보죠. x를 어떻게 구할까요? 바로 x를 구하는 방법이 로그에요. 영어로는 Logarithm이라고 하지요.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그는 사실 하나의 식이에요. 그 식에서 우리가 얻으려고 하는 게 무엇인지에 따라 부르는 이름이 달라지고 표시하는 방법이 달라지는 거죠.

거듭제곱근을 구할 때 식의 모양을 바꾸는 것처럼 로그를 구할 때도 식의 모양을 바꿔요. a와 b를 이용해서 x를 구하는 식이요.

로그 표시 방법 - 밑, 진수

먼저 Logarithm의 앞 세 글자 log를 쓰고 a는 아래 첨자로, b는 그냥 보통 글자로 써요. a를 log 글자의 오른쪽 아래에 조그맣게 쓰는 건 지수를 오른쪽 위에 조그맣게 쓰는 것과 비슷해요.

이렇게 나타낸 log_ab를 a를 밑으로 하는 b의 로그라고 해요. 아래에 조그맣게 쓰는 a를 밑, 보통 글자로 쓰는 b를 진수라고 하죠. a는 원래 지수에서도 밑이었죠?

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1이어야 그 결과가 실수가 된다고 했어요. 로그에서도 마찬가지로 a > 0이어야 그 결과가 실수예요.

로그의 의미에서 생각해보면 a를 몇 제곱해야 b가 나오는지 구하는 거예요. 그런데 a = 1, b = 1이면 x가 어떤 수가 되더라도 식을 만족하니까 무수히 많은 x가 존재해요. 또 a = 1이고 b ≠ 1이라면 이걸 만족하는 x는 존재하지 않죠. 따라서 a ≠ 1이어야 해요.

결국, a > 0이고 a ≠ 1이어야 해요.

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1일 때 y > 0이었어요. 여기서는 y 대신 b를 사용했으니 마찬가지로 b > 0이에요.

(a > 0, a ≠ 1, b > 0)

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 사이에 관계에 대해서 이해하고 있어야 해요.

다음에서 지수는 로그로, 로그는 지수를 이용하여 나타내어라.
(1) 2³ = 8
(2)
(3) 10^-3 = 0.001
(4) 4 = log₃81
(5)

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때, a^x = b ⇔ x = log_ab

(1) 2³ = 8 ⇔ 3 = log₂8

(2)

(3) 10^-3 = 0.001 ⇔ -3 = log₁₀0.001

(4) 4 = log₃81 ⇔ 3⁴ = 81

(5)

다음 로그의 값을 구하여라.
(1) log₃81
(2) log₄2

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 x = log_ab ⇔ a^x = b로 바꿔서 해를 구해요. 그러면 지수방정식으로 풀 수 있어요.

(1) x = log₃81로 놓으면
3^x = 81
3^x = 3⁴
x = 4

(2) x = log₄2로 놓으면
4^x = 2
(2²)^x = 2
2^2x = 2
2x = 1
x =

정리해볼까요

로그

(a > 0, a ≠ 1, b > 0)
a를 밑으로 하는 b의 로그
a를 밑, b를 진수

지수부등식, 지수부등식의 풀이

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로그의 성질

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