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정삼각형이 뭔지 알죠? 정사각형, 정오각형도요.

정삼각형, 정사각형, 정오각형 등을 정다각형이라고 해요. 선분의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형이죠.

다면체에도 이런 다각형처럼 정다면체라는 게 있어요. 이번 글에서는 정다면체는 무엇인지 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

그림 그리는 게 너무 어려워서 그림은 없어요. 가지고 있는 교과서나 참고서의 그림을 참고하세요.

정다면체

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말해요.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지밖에 없어요. 정오면체나 정구면체같은 건 없다는 거지요.

정다면체가 되려면 두 가지 조건을 만족해야 해요.

첫 번째는 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 해요. 한 꼭짓점에서 면이 하나만 있거나 두 개만 만나면 둘러싸이지 않은 부분이 생기지요?

두 번째는 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기는 360°보다 작아야 해요. 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기가 360°라면 그것은 그냥 평면이 돼버리잖아요. 그리고 한 평면에서 360°보다 큰 각은 나오지 않겠죠?

위 두 가지 조건을 만족하는 정다면체는 뭐가 있을까요?

모든 면이 합동인 정다각형이라고 했으니까 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 면이 될 수 있어요.

그리고 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나면서 그 각의 합이 360°보다 작은 경우를 찾아보죠.

다각형 내각의 크기의 합과 외각 크기의 합에서 봤던 것처럼 정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 내각은 90°, 정오각형은 108°, 정육각형은 120°에요.

위 표에서 보면 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°를 넘지 않는 경우는 정삼각형이 3, 4, 5개 모였을 때, 정사각형이 3개 모였을 때, 정오각형이 3개 모였을 때 총 다섯 가지 경우뿐이에요.

그래서 정다면체는 총 다섯 개밖에 없는 거예요.

한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모이면 정사면체
                   "            4         "     정팔면체
                   "            5         "     정이십면체
         "      정사각형   3         "     정육면체
         "      정오각형   3         "     정십이면체

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다각형에서 내각과 외각의 용어에 대해 이해하고 있죠?

삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 공부한 내용을 정리해보죠.

내각의 크기의 합 = 180°
외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
외각의 크기의 합 = 360°

그럼 이번에는 삼각형이 아니라 사각형, 오각형 등의 내각의 크기의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼까요.

그리고 일반적인 다각형, 그러니까 n각형에서의 내각과 외각의 성질에 대해서 알아보죠.

다각형 내각의 크기의 합

다각형의 내각의 크기의 합은 아주 간단하게 구할 수 있어요.

위 그림은 사각형, 오각형, 육각형 그림인데요. 한 점에서 대각선을 그어봤어요. 삼각형이 몇 개씩 생겼나요?

사각형은 두 개, 오각형은 세 개, 육각형은 네 개의 삼각형이 있어요.

대각선의 개수구하기, 대각선의 개수 공식에서 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)이라는 걸 공부했어요. 삼각형의 개수는 대각선의 수보다 하나 더 많으니까 (n - 3) + 1 = (n - 2)개예요.

내각의 크기를 어떻게 구하는지 대충 감이 오죠?

삼각형 내각의 크기의 합은 180°에요. 다각형의 한 점에서 대각선을 그어서 삼각형이 몇 개 들어있는지 세어본 다음에 삼각형 개수에 180°를 곱하면 다각형 내각의 크기의 합을 알 수 있어요.

삼각형 내각의 크기의 합을 구하면 n = 3을 대입해서 180° × (3 - 2) = 180°로 나오는군요.

그냥 다각형이라면 한 내각의 크기를 구할 수는 없겠지만 정다각형은 한 내각의 크기를 구할 수 있겠죠? 정다각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같은 다각형이잖아요. 내각의 크기가 모두 같으니까 크기의 합을 나눠주면 구할 수 있겠지요.

정n각형 한 내각의 크기 = {정n각형 내각의 크기의 합} ÷ n
                                   = {180° × (n - 2)} ÷ n

n각형 내각의 크기의 합 = 180° × (n - 2)
정n각형 한 내각의 크기 = 

다각형의 외각의 크기

다각형의 외각의 크기의 합은 그림이 아니라 식으로 설명해 볼게요. 잘 따라오세요.

다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내각과 외각의 성질에 대해서 기억하고 있죠? 다각형에서 한 내각의 크기와 이웃한 외각의 크기의 합은 항상 180°라고 했어요.

다각형이 n각형이라면 각이 n개 있겠죠? 그러니까 전체 내각과 외각의 크기의 합은 180° × n이 될 거예요. 이걸 식으로 써보죠.

(내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = 180° × n
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (내각의 크기의 합)                ←   (내각의 크기의 합)을 이항
(외각의 크기의 합) = 180° × n - {180° × (n-2)}                  ←   n각형의 내각의 크기의 합 = 180° × (n-2)
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n - 180° × 2)        ←   분배법칙
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n) + 360°
(외각의 크기의 합) = 360°

약간 복잡하긴 하지만 위 계산 과정을 거치면 다각형의 외각의 크기의 합은 360°라는 결과가 나와요.

삼각형, 사각형, 오각형과 관계없이 다각형의 외각의 크기의 합은 모두 360°로 일정해요.

그럼 정n각형의 한 외각의 크기는 얼마일까요? 전체가 360°니까 n으로 나눠주면 되겠네요.

n각형 외각의 크기의 합 = 360° 
정n각형 한 외각의 크기 = 

다음 다각형의 내각의 크기의 합과 한 내각의 크기, 외각의 크기의 합과 한 외각의 크기를 차례로 구하여라.
(1) 정오각형
(2) 정십각형
(3) 정십오각형

n각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합은 정다각형이 아니어도 구할 수 있지만, 한 내각의 크기, 한 외각의 크기는 정n각형에서만 구할 수 있어요. 문제에서는 정n각형이네요. 표로 한 번 해볼까요?

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다각형을 공부하고 있어요.

이 글에서는 다각형에 있는 변이 아닌 다른 선분에 대해서 알아볼 거예요. 그리고 그 선분을 몇 개나 그을 수 있는지 알아보고 개수를 구하는 공식도 만들어 볼거고요.

공식이 어떻게 만들어지는 그 과정을 잘 이해해보세요. 공식 유도과정을 잘 이해하면 공식을 외우기도 쉽고 공식을 써먹기도 쉬워요.

대각선

다각형에서 이웃한 꼭짓점을 연결한 선분은 변이라고 하죠? 그럼 이웃하지 않은 꼭짓점을 연결한 선분을 뭐라고 할까요? 많이 들어본 이름일 텐데 바로 대각선이라고 해요.

보통 대각선 하면 비스듬하게 그어진 선을 생각하는데, 여기서는 그게 아니니까 주의하세요.

아래 그림은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 본 거예요.

삼각형에는 대각선이 없죠? 왜요? 이웃하지 않은 꼭짓점이 없으니까요.

사각형에서는 한 꼭짓점에서 한 개의 대각선을 그을 수 있네요. 오각형은 두 개, 육각형은 세 개의 대각선을 한 꼭짓점에서 그을 수 있어요.

사각형 ABCD를 계속 보죠. 사각형의 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 몇 개일까요?

대각선은 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점으로 연결한 선분이에요. 점 A를 보세요. 점 A에서는 자기 자신인 점 A와 이웃한 점 B, 점 D가 아닌 점 C에만 대각선을 그을 수 있어요. 그러니까 점 A에서는 총 한 개의 대각선을 그을 수 있는 거죠.

오각형에서는 자기 자신, 이웃한 꼭짓점 두 개를 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있어요. 육각형에서도 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있고요.

n각형에서 n에 상관없이 자기 자신과 이웃한 두 개를 뺀 나머지 점에 대각선을 그을 수 있다는 결론이 나와요.

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)개에요.

다각형의 대각선의 개수

그럼 n각형에서 그을 수 있는 대각선의 총 개수는 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수와 꼭짓점의 수를 곱하면 되겠죠? n(n - 3)개가 되겠군요.

사각형에서는 4 × (4 - 3) = 4개가 나와요. 오각형은 5 × (5 - 3) = 10, 육각형은 6 × (6 - 3) = 18개가 되겠네요.

여기서 한 가지 더 짚고 넘어갈 게 있어요.

사각형 ABCD는 점 A, 점 B, 점 C, 점 D에서 각각 하나의 대각선을 그을 수 있으니 총 4개의 대각선을 그을 수 있어요.

그런데 점 A에서 점 C로 그은 대각선 AC와 점 C에서 점 A로 그은 대각선 CA는 같은 선분이에요. 따라서 두 개가 아니라 한 개로 쳐야 해요. 또 점 B에서 점 D로 그은 대각선 BD와 점 D에서 점 B로 그은 대각선 DB도 같은 선분이죠? 같은 대각선을 두 번씩 세면 안 되니까 위에서 구했던 대각선의 개수를 2로 나눠줘야 해요.

n각형 대각선의 개수 = 

삼각형, 사각형, 오각형, 육각형에서 대각선의 개수를 표로 정리해보죠.

다각형의 대각선의 개수

다각형	삼각형	사각형	오각형	육각형	n각형
꼭짓점의 개수(개)	3	4	5	6	n
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 (개)	0	1	2	3	n - 3
대각선의 총 개수 (개)	0	2	5	9	× n(n - 3)

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새로운 단원의 시작이에요. 평면도형에 대해서 공부할 거예요.

평면도형은 앞에서 공부했던 평면 위에 있는 도형을 말해요. 더 깊이 생각할 필요도 없어요.

이 단원에서는 평면도형의 종류를 알아보고 그 도형마다 어떤 특징이 있는지 공부할 거예요. 우선 이 글에서 우리가 알고 있는 삼각형, 사각형 등에서 사용하는 용어와 그 특징들을 알아보죠.

용어라 해봐야 두 세 개밖에 안되니까 어렵게 생각하지 말고, 용어의 정의보다는 특징과 관련성 등에 주목해서 읽어보세요.

다각형

다각형은 이름 그대로 각이 여러 개 있는 도형이에요. 다시 말해 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면 위의 도형이죠. 대표적인 다각형은 뭐가 있어요? 맞아요. 삼각형, 사각형, 오각형 등이 있어요.

원은 다각형이 아니에요. 각이 없잖아요.

보통 다각형은 둘러싸인 선분의 개수로 이름을 부르는데 선분이 3개이면 삼각형, 4개이면 사각형이라고 해요. 선분이 n개이면 n각형이라고 하지요. 각의 개수에 따라 불러도 똑같죠.

내각, 외각

다각형에서 꼭짓점은 알파벳 대문자를 사용해서 A, B, C … 순서로 이름을 적어요. 위 그림에서도 각 꼭짓점에 알파벳으로 이름을 붙였네요.

내각이라는 게 있어요. 다각형의 한 꼭짓점에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 각을 말해요. 이름 그대로 다각형의 안쪽에 있는 각이죠. 위 그림에서 내각은 ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E 이렇게 총 다섯 개가 있어요. 오각형이니까요.

외각은 내각과 반대로 바깥에 있는 각이에요. 다각형의 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각이에요. 다각형의 변 하나를 원래보다 길게 죽 그어요. 이렇게 길게 그은 선과 그 옆에 있는 선과 이루는 각이 외각이에요.

위 그림에서 변 CD의 연장선을 그었더니 ∠EDF라는 각이 생겼어요. 이 각이 바로 ∠CDE의 외각이에요. 또 변 DE의 연장선을 그었더니 ∠CDG라는 각이 생기죠? 이 각도 역시 ∠CDE의 외각이에요. ∠CDE의 외각이 ∠EDF와 ∠CDG 두 개가 생겼어요. 그런데 잘 보면 이 두 각은 직선 CF와 직선 EG라는 두 직선이 만나서 생기는 맞꼭지각이죠? 맞꼭지각은 크기가 같으니까 두 외각도 크기가 같아요. ∠EDF = ∠CDG

내각인 ∠CDE와 외각인 ∠EDF를 더하면 몇 °가 될까요? 두 각을 더하면 ∠CDF가 되는데 이건 평각이라서 180°예요. (내각) + (외각) = 180°

자, 다음 두 가지를 기억하세요.

한 꼭짓점에서 두 개의 외각은 맞꼭지각으로 크기가 같다
한 꼭짓점에서 내각과 그 이웃한 외각의 합은 180°

내각과 외각의 설명이 어렵죠? 그냥 정의를 그렇게 하는 거지 외워야하는 건 아니에요. 내각과 외각이 무엇을 의미하는지 알고 그림에서 내각과 외각을 찾을 줄 알면 돼요.

정다각형은 정삼각형, 정사각형처럼 모든 변의 길이가 같고 내각의 크기가 모두 같은 다각형을 말해요. (내각) + (외각) = 180°인데, 내각의 크기가 모두 같으니까 외각의 크기도 모두 같겠죠? n개의 선분으로 둘러싸인 정다각형은 정n각형이라고 불러요.

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