수학방

수열의 귀납적 정의는 첫째 항과 "앞의 항 → 다음 항"의 관계를 알려줘요. a₁을 알면 a₂를 구할 수 있고, a₂를 알면 a₃를 구할 수 있어요.

"첫 단추를 잘 못 끼우다." 이런 표현 있죠? 처음 시작이 잘 못 되어 그 뒤로도 계속 잘못된 상태가 된다는 뜻이잖아요. 반대로 생각해서 첫 단추를 잘 끼우면 두 번째 단추도 잘 끼울 수 있고, 두 번째 단추를 잘 끼우면 세 번째 단추도 잘 끼울 수 있어요.

수학적 귀납법은 이와 비슷해요. "앞 단계 → 다음 단계"로 이어지는 구조를 이용해서 명제가 참임을 증명해요.

첫 번째일 때 명제가 성립해요. 그리고 어떤 하나가 성립하면 연속된 그 다음도 성립한다고 해보죠.

첫 번째가 성립하면 그 다음인 두 번째도 성립하겠죠? 두 번째가 성립하니까 그 다음인 세 번째도 성립해요. 세 번째가 성립하니까 그 다음인 네 번째도 성립하고, … 이렇게 계속하면 결국 모두 다 성립하는 걸 알 수 있어요.

수학적 귀납법으로 어떤 명제가 모든 자연수에서 성립함을 보이려면 딱 두 단계만 거치면 돼요.

수학적 귀납법
1. 기초 단계: n = 1일 때 성립 확인
2. 귀납 단계: n = k일 때 성립한다고 가정하고, n = k + 1에서도 성립함을 증명

이 두 단계를 거치면, 모든 자연수에 대해 참이라는 결론을 얻을 수 있어요.

다음 수열을 보죠.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2

첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열로 일반항이 a_n = 2n - 1이에요.

수열의 일반항이 a_n = 2n - 1이 맞는지 수학적 귀납법으로 증명해 볼까요?

1. 기초 단계: n = 1일 때

a_n = 2n - 1
    = 2 × 1 - 1 (∵ n = 1 대입)
    = 1
    = a₁

n = 1일 때, 식이 성립해요.

2. 귀납 단계: 어떤 자연수 k에 대하여 n = k일 때 a_k = 2k - 1성립하면, n = k + 1일 때도 식이 성립하는지 알아보죠.

a_k = 2k - 1
a_k + 2 = 2k - 1 + 2       (∵ 양변 + 공차 2)
a_{k + 1} = 2k + 1         (∵ a_{n + 1} = a_n + 2)
a_{k + 1} = 2(k + 1) - 1

a_n = 2n - 1에 n = k + 1을 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 a_n = 2n - 1이 성립해요.

n = 1일 때, a_n = 2n - 1이 성립해요.
n = 1일 때 성립하니까 n = 2일 때도 성립해요.
n = 2일 때 성립하니까 n = 3일 때도 성립해요.
n = 3일 때 성립하니까 n = 4일 때도 성립해요.
…

따라서 모든 자연수 n에 대하여 a_n = 2n - 1이 성립함을 알 수 있어요.

모든 자연수 n에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.
(1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = $\frac{n(1+n)}{2}$
(2) 1² + 2² + 3² + 4² + … + n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

등차수열의 합과 여러 가지 수열의 합에서 봤던 공식이에요.

(1)

1. n = 1일 때, 등식이 성립하는지 확인해보죠.

(좌변) = 1

(우변) = $\frac{1(1+n)}{2}$ = $\frac{1(1 + 1)}{2}$ = 1

(좌변) = (우변)이므로 n = 1일 때 등식이 성립해요.

2. n = k일 때 등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

1 + 2 + 3 + 4 + … + k
    = $\frac{k(1+k)}{2}$
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{k(1+k)}{2}$ + (k + 1)         (∵ 양변 + (k + 1))
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{1}{2}$(k + 1)(k + 2)
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{1}{2}$(k + 1){1 + (k + 1)}

n = k + 1을 등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 등식이 성립해요.

따라서 이 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립해요.

(2)

1. n = 1일 때, 등식이 성립하는지 확인해보죠.

(좌변) = 1

(우변) = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ = $\frac{1(1+1)(2 × 1 + 1)}{6}$ = 1

(좌변) = (우변)이므로 n = 1일 때 등식이 성립해요.

2. n = k일 때 등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

1² + 2² + 3² + 4² + … + k²
    = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ + (k + 1)²
     (∵ 양변 + (k + 1)²)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1){k(2k + 1) + 6(k + 1)}
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1)(2k² + 7k + 6)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1){(k + 1) + 1}{2(k + 1) + 1}

n = k + 1을 등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 등식이 성립해요.

따라서 이 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립해요.

모든 자연수 n이 아니라 m(m ≥ 2)보다 크거나 같은 자연수 n에 대하여 성립하는지를 증명할 때는 1. 기초단계에서 n = 1일 때가 아니라 n = m일 때로만 바꾸고 나머지는 똑같이 증명하면 돼요.

n ≥ 5인 자연수 n에 대하여 부등식 2ⁿ ≥ n²이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

1. n = 5일 때,

2⁵ = 32 ≥ 5² = 25

(좌변) ≥ (우변)이므로 n = 5일 때 부등식이 성립해요.

2. n = k (k ≥ 5)일 때 부등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

2^k ≥ k²
2^k × 2 ≥ k² × 2         (∵ 양변 × 2)
2^k ≥ 2k²

2k² - (k + 1)²
= 2k² - k² - 2k - 1
= k² - 2k - 1
= (k - 2k + 1 - 1) - 1
= (k - 1)² - 2

k ≥ 5일 때, (k - 1)² - 2 ≥ 0이므로 2k² ≥ (k + 1)²

2^{k + 1} ≥ 2k² ≥ (k + 1)² → 2^{k + 1} ≥ (k + 1)²

n = k + 1을 부등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 부등식이 성립해요.

따라서 이 부등식은 n ≥ 5인 자연수에 대하여 성립해요.

수열의 귀납적 정의에 대해서 공부할 건데, 먼저 귀납이 무슨 뜻인지 부터 알아보죠.

귀납(歸納)에서 귀(歸)는 돌아올 귀인데, 돌아오다, 돌아가다의 뜻이에요. 밖에 나갔다가 집으로 돌아오는 걸 귀가라고 하고, 외국에 있다가 한국에 다시 들어오는 걸 귀국이라고 하죠?

납(納)은 들일 납인데, 들이다, 바치다, 받아들이다의 뜻이에요. 세금을 내는 걸 납세라고 하고, 은행 창구에서 돈을 받는 걸 수납이라고 하죠?

정리하면, 귀납은 “돌아가게 해서 받아들인다. → 개별적 사실들을 모아 받아들여 일반적 결론으로 돌아간다.”는 뜻으로 이해하면 돼요.

수열의 명시적 정의, 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법에는 두 가지가 있어요.

첫 번째 방법은 a_n = 2n + 1처럼 a_n을 n에 대한 공식으로 직접 나타내는 방법으로 명시적 정의라고 해요. 이제까지 우리가 공부했던 방법이에요.

두 번째 방법은 반복되는 규칙을 관계식으로 나타내는 방법으로 귀납적 정의라고 해요. 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들과의 관계식을 이용해요.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2이라고 해보죠.

첫 번째 항은 1이에요. a₁ = 1이라서 첫 번째 항은 1이에요. a_{n + 1} = a_n + 2이니까다음 항은 바로 앞항보다 2만큼 큰 관계가 있어요. 결과적으로 이 수열은 첫째항이 1이고, 공차 2인 등차수열이에요.

a₁ = 2, a_{n + 1} = 3a_n일 때, a₁ = 2라서 첫째항이 2고 a_{n + 1} = 3a_n이니까 다음 항은 바로 앞항의 3배인 관계가 있어요. 즉, 첫째항이 2고 공비가 3인 등비수열이죠.

여기서 a_{n + 1} = a_n + 2와 a_{n + 1} = 3a_n처럼 이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식을 점화식이라고 해요.

등차수열과 등비수열의 귀납적 정의

등차수열, 등차수열의 일반항에서 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열은 a_n = a + (n - 1)d라고 했죠? 같은 등차수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = a_n + d (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등차수열을 첫째항 a와 이웃하는 항(n항, n + 1항) 사이의 관계식으로 정의했잖아요.

등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항에서 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 a_n = ar^{n - 1}이었어요. 같은 등비수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = ra_n (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등비수열도 등차수열과 마찬가지로 첫째항과 이웃하는 항 사이의 관계식을 이용했어요.

여러 가지 점화식

이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식(점화식)을 보면 이 수열이 등차수열인지 등비수열인지 알 수 있어요.

(1) a_{n + 1} = a_n + d → a_{n + 1} - a_n = d(일정) → 공차가 d인 등차수열
(2) a_{n + 1} = raⁿ → a_{n + 1} ÷ a_n = r(일정) → 공비가 r인 등비수열
(3) a_{n + 1} - a_n = a_{n + 2} - a_{n + 1} → 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} → 등차수열
(4) a_{n + 1} ÷ a_n = a_{n + 2} ÷ a_{n + 1} → (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2} → 등비수열

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오. (단, n = 1, 2, 3, …)
(1) a₁ = 3, a₂ = 6, a_{n + 1} = a_n + 3
(2) a₁ = 3, a₂ = 6, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}

(1) a₁ = 3이고, a_{n + 1} = a_n + 3이므로 이 수열은 첫째항이 3이고, 공차가 3인 등차수열이에요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 + (n - 1)3 = 3n

(2) a₁ = 3, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}이므로 이 수열은 첫째항이 3인 등비수열이에요.

공비를 구해야겠네요.

r = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 × 2^{n - 1}