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인수분해는 곱셈공식의 반대과정이니까 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그렇다고 해서 인수분해 공식만 외우고 문제는 풀지 못하는 상황에 빠지면 안돼요. 공식을 외우는 건 계산을 쉽고 빠르게 하기 위해서니까요. 공식을 외우는 게 목적이 되어서는 안돼요.

이 글은 복잡한 식의 인수분해 방법 첫번째에요. 문제 자체에 공식을 바로 적용할 수 없으니 공식을 적용할 수 있도록 식의 모양을 바꾸는 방법을 공부할 겁니다. 처음 보면 복잡해보이지만 몇 가지 방법만 알면 기존에 외우고 있는 공식을 바로 써먹을 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

복잡한 식의 인수분해

공통인수로 묶기

복잡한 식을 인수분해를 할 때 가장 먼저 해야할 일은 모든 항에 들어있는 공통인수로 묶는 것이에요. 일단 공통인수로 묶으면 남은 것들끼리 인수분해 공식을 이용해서 인수분해 할 수 있어요. 공통인수는 숫자일 수도 있고, 문자일 수도 있고, 숫자와 문자가 함께 있을 수도 있어요.

2x³y + 4x²y² + 2xy³을 해보죠. 모든 항에 2xy가 들어있어요. 2xy로 묶어보죠.

2x³y + 4x²y² + 2xy³
= 2xy(x² + 2xy + y²)
= 2xy(x + y)²                 ∵괄호안이 완전제곱식

2xy로 묶지않고 인수분해를 하려 했다면 할 수가 없었겠죠?

복잡한 식의 인수분해 1
공통인수로 묶기 → 인수분해 공식 사용

치환

치환은 바꾸는 걸 말해요. 식 안에 길이가 긴 내용을 짧은 다른 문자로 바꾸는 거죠. 치환은 2학년 곱셈공식 - 다항식 × 다항식을 공부할 때 이미 한 번 본 적이 있어요. 치환이라는 용어를 사용하지 않았을 뿐이에요.

a(a + b) - b(a + b)라는 식이 있다고 해보죠. 괄호를 전개해서 해볼까요?
a(a + b) - b(a + b)
= a² + ab - ab - b²
= a² - b²
= (a + b)(a - b)

복잡하죠? 문제에서 (a + b)라는 괄호로 묶어진 항을 t라는 문자로 바꿔보죠. (a + b) = t
a(a + b) - b(a + b)
= at - bt
= (a - b)t            ∵t는 공통인수
= (a - b)(a + b)    ∵a + b = t 이므로

두 번째 줄에서 (a + b) = t라고 놓으니까 두 항에 모두 t라는 공통인수가 들어있네요. 인수분해가 훨씬 쉬워졌죠? 그리고 t라는 문자에 원래 값인 (a + b)를 넣어줬더니 괄호를 전개해서 정리하고 인수분해한 것과 같죠?

치환을 하면 식의 길이도 짧아지고 차수도 낮아지는 장점이 있어서 계산할 때 많이 사용하는 방법이에요. 주의해야할 건 치환을 한 후에 답을 쓸 때는 대신 썼던 문자를 원래 값으로 바꿔줘야 한다는 거에요. 위에서도 마지막 줄에 t = (a + b)를 넣는 것까지 해야 계산이 끝나는 거에요. (a - b)t 라고 쓰면 틀립니다.

그리고 치환을 할 때 사용하는 문자는 t뿐 아니라 A, B 등 아무거나 상관없어요. 문제에 나와있지 않은 문자면 돼요.

(2a - b)² - 2(2a - b) - 8을 인수분해 해볼까요? 이 식도 마찬가지로 전개하지 않고 (2a - b) = t라고 치환해보죠.
(2a - b)² - 2(2a - b) - 8
= t² - 2t - 8
= (t - 4)(t + 2)
= (2a - b - 4)(2a - b + 2)

2a - b를 t라는 문자로 치환한 다음에 계산을 하고, 마지막에 t에 원래 값인 2a - b를 대입했더니 인수분해가 됐네요.

이번에는 (x + 1)² - (y - 1)²을 해보죠. 괄호로 묶어진 (x + 1) = A, (y - 1) = B라고 치환해보죠. 괄호 안의 내용이 서로 다르니까 다른 문자로 치환했어요.

(x + 1)² - (y - 1)²
= A² - B²
= (A + B)(A - B)
= {(x + 1) + (y - 1)}{(x + 1) - (y - 1)}
= (x + y)(x - y + 2)

복잡한 식의 인수분해 2 - 치환
식의 일부를 다른 문자로 바꾸어 계산 → 계산 후 바꾼 문자에 원래 값 대입
여러 항에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶어진 곳을 치환

다음 식을 인수분해 하여라.
(1) a³b - 3a²b - 18ab
(2) (3a + 2)² + 4(3a + 2) + 3
(3) xy(x + 2)² - xy(y + 2)²

인수분해의 시작은 공통인수로 묶는 거에요. 공통인수로 묶은 후에 인수분해 공식을 사용해요. 공통인수로 묶어지지 않는다면 바로 인수분해 공식을 사용하거나 치환 등을 이용해서 인수분해 합니다.

(1) a³b - 3a²b - 18ab
ab(a² - 3a - 18)        ∵ ab가 공통인수
= ab(a - 6)(a + 3)

(2) (3a + 2)² + 4(3a + 2) + 3
= t² + 4t + 3                     ∵ 3a + 2 = t로 치환
= (t + 1)(t + 3)
= (3a + 2 + 1)(3a + 2 + 3)  ∵ 원래 값 대입. t = 3a + 2
= (3a + 3)(3a + 5)
= 3(a + 1)(3a + 5)            ∵ 3이 공통인수

(3) xy(x + 2)² - xy(y + 2)²
= xy{(x + 2)² - (y + 2)²}    ∵ xy가 공통인수
= xy(A² - B²)                  ∵ A, B로 치환
= xy(A + B)(A - B)
= xy{(x + 2) + (y + 2)}{(x + 2) - (y + 2)}
= xy(x + y + 4)(x - y)

다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.

완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)²처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)²도 완전제곱식이고, 2(x + a)²도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)²이나 (x + a)(x + b)²처럼 말이죠.

완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)², k(a + b)²

어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.

일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A², B²이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.

A² + 2 × A × B + B²

첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.

다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a² + □ + 36
(2) 4a² + 4ab + □

(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a² + □ + 36
= a² + □ + 6²

□ = 2 × a × 6 = 12a

그런데, 36 = 6² = (-6)²이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a² + □ + (-6)²이라고 쓸 수도 있어요.

□ = 2 × a × (-6) = -12a

결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.

(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a² + 4ab + □
= (2a)² + 2 × 2a × b + □

□ = b²

여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.

완전제곱식으로 인수분해

일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a² + 4ab + 4b²
(2) 4a² + 12ab + 9b²
(3) 8a² + 8ab + 2b²

식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?

(1) 모양을 바꿔보면
a² + 4ab + 4b²
= a² + 2 × a × 2b + (2b)²
= (a + 2b)²

(2) 4a² + 12ab + 9b²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= (2a + 3b)²

(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a² + 8ab + 2b²
= 2(4a² + 4ab + b²)
= 2{(2a)² + 2 × 2a × b + b²}
= 2(2a + b)²

인수분해 공식 - 합차공식

곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?

a² - b² = (a + b)(a - b)

다음을 인수분해하여라.
(1) 4a² - 9b²
(2) 3a² - 27b²
(3) a² + 4b²

제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.

(1) 4a² - 9b²
= (2a)² - (3b)²
= (2a + 3b)(2a - 3b)

(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a² - 27b²
= 3(a² - 9b²)
= 3{a² - (3b)²}
= 3(a + 3b)(a - 3b)

(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.

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