시그마(∑)의 기본 성질
수열의 합을 나타내는 기호인 시그마(∑) 기호에 대해서 알아봤어요. 숫자들의 합을 시그마(∑) 기호를 이용해서 나타낼 수 있어야 하고, 반대로 시그마(∑)를 보고 식으로 풀어서 쓸 수도 있어야 해요.
이 글에서는 시그마(∑)의 기본 성질에 대해서 알아볼 거예요. 성질이 어떻게 유도되는지 잘 알아두세요. ∑의 성질을 증명하는 방법은 매우 간단해요. 원래 의미 그대로 식으로 풀어서 쓴 다음에 더하는 거지요.
마지막으로 시그마(∑)의 기본성질이 성립하는 조건과 성립하지 않는 조건에 대해서도 알아볼 거예요. ∑를 이용해서 식을 나타낼 때는 ∑의 위아래에 있는 숫자가 작으니까 주의해서 잘 보세요.
시그마 ∑의 성질
∑의 성질을 증명하는 방법은 간단해요. ∑를 원래대로 풀어서 써보는 거죠. 풀어서 쓴 다음 같은 종류끼리 묶고, 묶은 건 다시 ∑로 나타내보는 거예요.
먼저, 합이 k에 대한 두 가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때예요.
각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같아요.
다음은 상수 c가 곱해져 있을 때예요.
상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같아요.
이번에는 k에 대한 식이 아니라 그냥 상수 c일 때예요.
k에 대한 식이 아니라서 모든 항이 c예요. c가 n개만큼 있으니까 그 합은 cn이 되겠죠.
∑의 기본 성질 (c는 상수)
이 성질은 합과 차로 되어 있을 때만 성립해요. 곱이나 나눗셈, 완전제곱일 때는 성립하지 않아요.
첫 번째 성질에서 주의해야 할 게 있어요. 좌우변을 바꿔서 기본 성질을 적용할 때 두 개의 ∑에 있는 각각의 시작 항과 마지막 항이 서로 같아야 해요.
- ak와 bk의 합을 구하는 첫째항이 1, 마지막 항이 n으로 같아서 기본 성질을 이용할 수 있어요.
- ak의 합을 구하는 첫째항은 1, bk의 합을 구하는 첫째항은 2로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.
- ak의 합을 구하는 마지막 항은 n, bk의 합을 구하는 마지막 항은 m으로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.
(1)
(2)
(1)은 k에 대한 두 식의 합으로 되어 있어요. 그리고 각 식에는 상수 2, 3이 곱해져 있고요. ∑의 성질을 이용해서 모양을 바꿔보죠.
(2)번은 식이 좀 복잡하네요. 각각 전개해서 구하는 방법도 있고, 둘을 하나로 합쳐서 전개하는 방법도 있어요.
두 개의 ∑이 있으니까 하나로 합칠 수 있죠? 하나로 합쳐서 전개해보죠.
답은 같으니까 어떤 방법으로 풀어도 상관없어요.
k에 대한 식은 같은데, ∑ 기호 아래에 있는 k의 시작값이 달라요. 그러니까 ∑의 성질을 이용해서 둘을 합칠 수 없어요. 이때는 다른 방법을 이용해요.
이걸 처음의 식에 대입해보죠.
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