조화수열, 조화중항

고등수학/수학 1

조화수열, 조화중항

수학방 2014. 4. 28. 12:30

등차수열에 이어 조화수열에 대해서 알아보죠. 조화수열은 등차수열과 아주 밀접한 관계가 있어요.

조화수열의 일반항을 구할 건데 이때 등차수열의 여러 성질을 이용합니다. 따라서 등차수열의 성질과 여러 내용을 잘 이해하고 있어야 해요.

조화중항이라는 것도 알아볼 거예요. 조화중항은 등차수열의 등차중항과 관계가 있으니까 등차중항에 대해서도 알고 있어야 하죠.

조화수열

등차수열은 첫째항에 일정한 수(공차)를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요. 등차수열의 각 항의 역수로 이루어진 수열을 조화수열이라고 해요. 다시 말해 어떤 수열의 역수들이 등차수열을 이룰 때 이 수열을 조화수열이라고 하지요.

어떤 수열의 일반항을 a_n이라고 표현하니까 이 수열의 역수인 수열의 일반항은 이 되겠죠?

기준을 어디에 둘 것인가가 중요한데, 조화수열의 일반항을 a_n이라고 한다면 역수인 등차수열의 일반항은 이 될 것이고, 등차수열의 일반항을 a_n이라고 한다면, 조화수열의 일반항은 이 되는 거죠.

여기서는 조화수열이 중요하니까 조화수열의 일반항을 a_n, 그 역수로 된 등차수열의 일반항을 이라고 하죠.

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열
조화수열: a₁, a₂, a₃, … , a_n, …
등차수얼:

조화수열의 일반항 구하기

조화수열의 역수가 등차수열이니까 이를 이용해서 조화수열의 일반항을 구해요.

제1항이 a₁, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n - 1)d죠?

그런데 a_n는 조화수열의 일반항이니까 등차수열의 일반항은 역수인 로 나타낼 수 있어요. 또 조화수열의 제1항을 a₁이라고 한다면 등차수열의 제1항은 이 되고요.

조화수열은 그 자체가 어떤 특징이 있는 게 아니라서 공차를 구할 수 없어요. 대신 역수인 등차수열에서는 공차를 구할 수 있죠. 공차는 등차수열에서 구하는데, 공차 d = a₂ - a₁로 구해요. 하지만 여기서도 a₁, a₂는 조화수열의 항을 나타내니까 그 역수를 이용해서 으로 구해요.