지수함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

고등수학/수학 1

지수함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

수학방 2014. 4. 5. 12:30

지수함수 그래프의 평행이동과 지수함수 그래프의 대칭이동이에요. 중학교 3학년 때 이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동을 공부했었죠? 함수의 종류만 달라졌을 뿐 그래프의 평행이동, 대칭이동이라는 건 똑같아요.

게다가 도형의 평행이동, 대칭이동은 1학년 때 공부했잖아요. 이 내용을 그냥 지수함수의 그래프에 적용한 것뿐이에요.

새로운 내용도 아니고 이미 공부했던 걸 아주 살짝 확장하는 것이니까 그냥 한 번 죽 읽어보세요.

지수함수 그래프의 평행이동

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 평행이동하면 어떻게 될까요? 점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 지수함수의 그래프에 적용해보죠.

일단 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요.

점을 평행이동하면 이동한 만큼 원래 점의 좌표에 더해줘요. (x, y)라는 점을 x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 그 결과는 (x + p, y + q)예요.

도형의 평행이동에서 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 f(x - p, y - q) = 0이 된다고 했어요. x 대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하죠.

f(x, y) = 0의 평행이동
x축 방향으로 p만큼 평행이동: x 대신 x - p. f(x - p, y) = 0
y축 방향으로 q만큼 평행이동: y 대신 y - q. f(x, y - q) = 0
x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동: x 대신 x - p, y 대신 y - q. f(x - p, y - q) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 어떤 특징이 있었나요? 그래프 자체뿐 아니라 꼭 지나는 점이 있었어요. (0, 1)과 (1, a)죠. 이 점도 평행이동하죠? 이동한 만큼 더해줘요.

그리고 점근선이 있었죠? 점근선은 x축 즉 y = 0이라는 직선이었어요. 이 직선은 x축 방향으로 평행이동해도 똑같아요. y축 방향으로 평행이동할 때는 y = 0 대신 y - p = 0이니까 y = p가 되지요.

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p를 넣어줘요.
y = a^x → y = a^{x - p}
(0, 1) → (p, 1), (1, a) → (1 + p, a)
점근선: y = 0 → y = 0

지수함수 y = a^x의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 넣어요.
y = a^x → y - q = a^x → y = a^x + q
(0, 1) → (0, 1 + q), (1, a) → (1, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y 대신 y - q를 넣어줘요.
y = a^x → y - q = a^{x - p} → y = a^{x - p} + q
(0, 1) → (p, 1 + q), (1, a) → (1 + p, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

이건 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지, 원래 식에 뭘 대입해야 하는지만 알면 돼요.