원과 비례, 원과 비례 증명

중등수학/중3 수학

수학방 2012. 11. 9. 12:30

제목에 나와 있듯이 원에서 비례식을 이용하는 거에요. 원의 현, 할선 등의 길이를 비례식을 이용해서 구하는 거지요.

설명은 되게 복잡한데요, 실제 결론을 보면 어렵지는 않아요. 이런 과정을 거쳐서 결론을 얻었구나 하고 바로 이해할 수 있죠. 하지만 이해한 결론을 실제 주어진 문제에 적용하기가 약간 까다로워요. 그림에 선이 여러 개인데다 길이도 여러 개 나오거든요.

원과 비례에서는 결론을 공식이 아닌 그림으로 외워야해요. 그림을 짚어가면서 "여기 여기 곱한 값과 여기 여기 곱한 값이 같다." 처럼요. 그래야 문제에서 주어진 선과 길이를 우리가 외우고 있는 그림에 맞게 변형할 수 있어요.

원과 비례에서 사용하는 비례식의 기본이 되는 건 닮음비에요. 매번 닮음비를 이용하는 게 아니라 공식을 유도하는 과정에서 닮음비를 이용합니다.

원에 현을 두 개 그었을 때, 교점이 생기죠. 그 교점에서 현에 이르는 거리를 곱한 값들이 서로 같다는 걸 알 수 있어요.

언제나처럼 그림으로 외우세요. 먼저 현을 하나 고르고, 그 현에서 교점 P에서 출발해서 현의 양쪽으로 거리의 곱을 구하고, 다른 현에서도 점 P에서 양쪽으로 거리의 곱을 구하면 두 값이 서로 같아요.

왜 그런지 증명해 보죠.

와 를 그으면 삼각형 두 개가 생겨요.

△PAC와 △PDB에서
∠PAC = ∠PDB (호 CB의 원주각)
∠PCA = ∠PBD (호 AD의 원주각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림에서 가 원의 중심 O를 지날 때 x를 구하여라.

가 지름이므로 반지름은 5cm죠.

에서
4 × x = (5 - 2) × 7
4x = 21
x = (cm)

원에서 현의 교점 사이에는 대각선 방향의 길이를 그냥 곱한 것이 같고, 피타고라스 정리의 활용 - 사각형에서는 대각선에 이르는 거리의 제곱의 합이 서로 같아요. 헷갈리면 안 돼요.

+ = +

이번에는 원의 할선의 교점과 거리의 관계에요.

역시 마찬가지로 할선 하나를 선택하여 교점 P에서 출발해서 현의 양 끝점까지의 거리를 곱한 값과 다른 할선에서 점 P에서 양 끝점까지의 거리를 곱한 값이 같아요.

와 를 그어 두 개의 삼각형을 만들어요. 이때 □ACDB는 원에 내접하는 사각형이에요.

△PDB와 △PAC에서
∠PDB = ∠PAC (□ACDB에서 외각과 내대각)
∠PBD = ∠PCA (□ACDB에서 외각과 내대각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

에서
(3 + 9) × 3 = x × 4
4x = 36
x = 9(cm)

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