두 원에서 접선과 현이 이루는 각, 공통접선과 현이 이루는 각

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두 원에서 접선과 현이 이루는 각, 공통접선과 현이 이루는 각

수학방 2012. 11. 8. 12:30

이번에는 원이 두 개일 때, 두 원의 접선과 현이 이루는 각에 대해서 알아볼 거예요.

두 원과 접선의 관계부터 따져보죠. 두 원의 위치관계는 총 여섯 가지가 있어요. 여기서 다룰 내용은 그중에서도 내접과 외접 두 경우입니다. 접선은 두 원의 접점을 지나는 공통접선이에요. 두 원의 접점이 아닌 다른 곳을 지나는 접선은 다루지 않아요.

두 원과 접선의 세 도형이 한 점에서 만날 때, 접선과 현이 이루는 각의 특징에 대해서 알아보죠. 도형을 많이 그리기 때문에 조금 복잡할 수 있어요. 주의해서 잘 보세요.

두 원에서 접선과 현이 이루는 각

두 원이 외접할 때

두 원이 외접할 때, 접점을 지나는 접선과 현이 이루는 각들을 표시한 그림이에요.

위 그림에서 총 세 가지를 알 수 있어요. 첫 번째는 크기가 같은 각들이에요. 각의 수가 많은데 헷갈리지 않도록 주의하세요. 그다음은 평행한 직선이고, 세 번째는 닮은 삼각형이에요. 크기가 같은 각들의 위치만 정확히 알면 되는데요. 혹시 외우기가 어려우면 두 번째, 세 번째 내용을 이용해서 찾을 수도 있어요.

위 세 가지를 증명해보죠. 공통접선, 현이 만나서 생기는 각에 번호를 붙여봤어요.

가운데 복잡한 부분에서 크기가 같은 각들을 찾아보죠.

② = ⑤ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(1)
① = ④ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(2)
③ = ⑥ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(3)

이번에는 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각을 찾아볼까요?

① = ⑧ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(4)
③ = ⑦ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(5)
④ = ⑨ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(6)
⑥ = ⑩ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(7)

(1)에 의해 ② = ⑤
(2)와 (4), (6)에 의해서 ① = ④ = ⑧ = ⑨
(3)과 (5), (7)에 의해서 ③ = ⑥ = ⑦ = ⑩

크기가 같은 모든 각을 찾았어요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 엇각 ⑦과 ⑩이 같아요. 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

마지막으로 중요한 건 아닌데 그래도 알고 넘어가면 좋은 것 하나 추가 하자면요. △TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x°, y°의 값을 구하여라.

△TCD에서 삼각형 내각의 합 = 180°이므로 ∠TDC = 180° - (67.5° + 45°) = 67.5°

이므로 평행선에서 엇각에 의해 ∠TAB = ∠TCD에서 x° = 45°. ∠TBA = ∠TDC에서 y° = 67.5°

두 원이 내접할 때

두 원이 내접할 때, 두 원의 접점을 지나는 접선과 원의 현이 이루는 각이에요. 여기서도 역시 크기가 같은 각들의 위치가 중요해요. 두 원이 외접할 때보다는 각의 개수도 적고 위치도 알기 쉽게 되어 있네요.

그리고 평행한 현이 있다는 것과 닮은 삼각형이 있다는 것도 알 수 있어요.

접선과 현이 이루는 각에 번호를 매겼어요.

여기는 맞꼭지각이 없으니 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각부터 찾아보죠.

① = ⑥ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(1)
② = ⑤ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(2)
① = ④ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(3)
② = ③ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(4)

(1), (3)에 의해서 ① = ④ = ⑥
(2), (4)에 의해서 ② = ③ = ⑤

총 여섯 개의 각 중에서 크기가 같은 각이 세 개씩 있네요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 동위각 ③과 ⑤가 같아요. 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

△TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이지요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x, y의 값을 구하여라.