[구구단 치트키] 11단에 숨겨진 가르고 더하는 규칙
구구단 암기 없이 계산하는 법! 각 단에 숨겨진 수의 규칙을 찾아 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 구구단 시리즈 중 11단에 대한 설명입니다.
구구단, 무작정 외우느라 힘들지 않았나요? 이 글은 구구단 각 단에 숨어 있는 계산 치트키 규칙을 하나씩 정리하는 시리즈 중 11단에 대한 글이에요. 단순 암기가 아니라, 계산 과정을 줄여주는 규칙을 중심으로 살펴보죠.
이 글에서 알려주는 가르고 더하기 이것 딱 하나만 기억하면 그런 불필요한 과정을 줄이고 원하는 답을 곧바로 찾을 수 있어요.
외우는 구구단이 아니라 즐거운 숫자놀이 구구단으로 만들어 볼까요?
11에 한 자리 수(1 ~ 9)를 곱할 때
11과 1 ~ 9까지의 수를 곱할 때예요.
이건 너무 간단해요. 곱하는 수를 2번 연달아 써요.
(곱하는 수)를 연달아 2번 쓴다.
- (십의 자리 수): 곱하는 수
- (일의 자리 수): 곱하는 수
실제로 해보죠.
(1) 11 × 8 = ?
(2) 11 × 4 = ?
(1)번 11 × 8 부터 풀어보죠.
- 곱하는 수 8를 연달아 2번 쓴다.
(8 옆에 8을 나란히 써준다)
8 → 88 - 결과는 11 × 8 = 88
(2)번 11 × 4 풀이예요.
- 곱하는 수 4를 연달아 2번 쓴다.
4 → 44 - 결과는 11 × 4 = 44
💡 (보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?
9단 자릿수 합의 법칙에서 했던 것과 비슷한데요.
11 = 10 + 1이니까 11을 곱한다는 건 어떤 수를 10배를 하고 한 번 더 더하는 거예요.
중학교 1학년 때 공부하는 분배법칙을 이용하면 간단하게 증명할 수 있어요.
11 × a
= (10 + 1) × a (∵ 11 = 10 + 1)
= 10 × a + a (∵ 분배법칙으로 전개)
10 × a + a는 십의 자리 수도 a, 일의 자리 수도 a라는 뜻이라서 같은 수 a를 연달아 두 번 쓰면 돼요.
11에 두 자리 수(10 ~ 99)를 곱할 때
11과 두 자리 수를 곱하면 대부분 그 결과는 세 자리 자연수예요. 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리가 있어요.
백의 자리 수는 곱하는 수의 십의 자리 수와 같아요.
십의 자리 수는 곱하는 수의 십의 자리 수와 일의 자리 수를 더한 것과 같고요.
일의 자리 수는 곱하는 수의 일의 자리 수와 같아요.
- (백의 자리 수): 곱하는 수의 (십의 자리 수)
- (십의 자리 수): 곱하는 수의 (십의 자리 수) + (일의 자리 수)
- (일의 자리 수): 곱하는 수의 (일의 자리 수)
실제로 해보죠.
(1) 11 × 16 = ?
(2) 11 × 13 = ?
(1)번 11 × 16 부터 풀어보죠.
- (백의 자리 수)는 곱해지는 수 16의 (십의 자리 수) 1.
- (십의 자리 수)는 곱해지는 수 16의 (십의 자리 수 1) + (일의 자리 수 6) = 7.
- (일의 자리 수)는 곱해지는 수 16의 (일의 자리 수) 6.
- 결과는 11 × 13 = 176
(2)번 11 × 13 풀이예요.
11 × 13 = ?
→ 1 (1 + 3) 3
→ 143
이제, 11 × 7과 11 × 17를 직접 구해보세요.
💡 (보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?
11을 곱한다는 건 어떤 수를 10배를 하고 한 번 더 더하는 거예요.
어떤 수를 10배하면 그 수의 일의 자리는 십의 자리로 바뀌니까 원래 수와 더할 때 원래 수의 십의 자리 수와 더하는 거예요.
이건 중학교 3학년 때 공부하는 다항식 × 다항식으로 증명할 수 있어요.
11 = 10 + 1이고, 두 자리 자연수는 10a + b로 나타낼 수 있어요.
11 × (10a + b)
= (10 + 1)(10a + b)
= 100a + 10a + 10b + b
= 100a + 10(a + b) + b
백의 자리 수는 a, 십의 자리 수는 (a + b), 일의 자리 수는 b에요.
십의 자리에서 받아올림
여기는 조금 어려워지니까 읽고 싶은 사람만 읽어요.
(십의 자리 수)를 구할 때, 예외적인 경우가 생기는 데 이때를 주의해야 해요.
(십의 자리 수)는 곱하는 수의 십의 자리 수와 일의 자리 수를 더해서 구하는데, 이 합이 10보다 크거나 같을 때가 있어요. 이럴 때 어떻게 해야하는지 알아보죠.
(1) 11 × 19 = ?
(2) 11 × 47 = ?
(1)번 11 × 19 부터 풀어보죠.
11 × 19
→ 1 (1 + 9) 9
→ 1 10 9
→ 1109
십의 자리가 10이라서 결과가 1109가 나와요. 실제 결과는 이게 아니거든요. 11 × 19의 결과는 세자리예요.
보통 덧셈을 할 때, 한 자릿수의 합을 구했더니 10보다 크거나 같으면 어떻게 하나요? 10을 바로 앞자리로 받아올림하고 남은 수만 쓰죠? 여기서도 똑같아요.
십의 자리를 구했더니 10이잖아요. 그럼 10은 백의 자리로 받아올림하고 남은 0만 써요.
(백의 자리 수)는 원래 곱하는 수 19의 십의 자리 수 1였는데, 결과의 십의 자리에서 1이 받아올림돼서 1 + 1 = 2가 되고, (십의 자리 수)는 10이 아니라 0이에요.
11 × 19
→ 1 (1 + 9) 9
→ 1 10 9
→ (1 + 1) 0 9
→ 209
11 × 19 = 1109 (X)
11 × 19 = 209 (O)
(2)번 11 × 47 풀이예요.
11 × 47
→ 4 (4 + 7) 7
→ 4 11 7
→ (4 + 1) 1 7
→ 517
💡 (보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?
앞서 얘기했던 규칙의 이유에 이어서 설명할게요.
11 × (10a + b)
= 100a + 10(a + b) + b
a + b ≥ 10이면 a + b = 10 + c로 쓸 수 있죠?
100a + 10(a + b) + b
= 100a + 10(10 + c) + b
= 100a + 100 + 10c + b
= 100(a + 1) + 10c + b
= 100(a + 1) + 10(a + b - 10) + b
백의 자리에서 받아올림
수가 더 커지면 (백의 자리 수)에서도 받아올림이 생기는 경우가 있어요. 그때는 천의 자리로 받아올림하고 백의 자리는 남은 수 0만 쓰면 돼요.
11 × 98
→ 9 (9 + 8) 8
→ 9 17 8
→ (9 + 1) 7 8
→ 1078
구구단 치트키 시리즈
- 5단 반으로 나누기
- 6단 짝수의 법칙
- 9단 자릿수 합의 법칙
- 11단 가르고 더하기(현재글)