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지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)는 a > 1이면 증가함수, 0 < a < 1이면 감소함수예요. 정의역이 실수 전체의 집합이면 최솟값은 0에 한없이 가까워지고, 최댓값은 그 끝을 알 수 없어요.

따라서 최대, 최소를 구한다는 건 정의역이 제한된 범위를 갖는다는 뜻이에요.

제한된 범위에서 함수의 최대, 최소를 구하는 건 1학년 때, 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소에서 해본 적이 있죠? 양쪽 경계나 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가져요.

지수함수는 꼭짓점이 없으니 양쪽 경계에서 최댓값 또는 최솟값을 갖죠.

a > 1일 때는 지수함수가 증가함수라서 x가 증가하면 y도 증가하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최솟값, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

0 < a < 1일 때는 지수함수가 감소함수라서 x가 증가하면 y는 감소하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최댓값, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

정의역이 {x|m ≤ x ≤ n}일 때, y = a^x(a > 0, a ≠ 1)은

• a > 1일 때, x = m에서 최솟값 y = a^m, x = n일 때 최댓값 y = aⁿ
• 0 < a < 1일 때, x = m에서 최댓값 y = a^m, x = n일 때 최솟값 y = aⁿ

-2 ≤ x ≤ 2일 때, 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = 5^x       (2) y = $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$ - 2

(1) 밑이 5로 1보다 크니까 증가함수예요. 경계 중 작은 값에서 최솟값을 갖고, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

y = 5^x

x = -2일 때, 최솟값: 5^-2 = $\frac{1}{25}$

x = 2일 때, 최댓값: 5² = 25

(2) 밑이 $\frac{1}{2}$로 0보다 크고 1보다 작으니까 감소함수예요. 경계 중 작은 값에서 최댓값을 갖고, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

y = $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$ - 2

x = -2일 때, 최댓값: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2-1}$ - 2 = (2^-1)^-3 - 2 = 2³ - 2 = 6

x = 2일 때, 최솟값: y = $\left(\frac{1}{2}\right)^{2-1}$ - 2 = $\frac{1}{2}$ - 2 = -$\frac{3}{2}$

지수함수를 이용한 수의 대소 비교

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