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그래프를 보고 직선의 방정식 구하기
12

2012.06.24
일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기
30

2012.06.23

일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기에서는 그래프의 특징을 설명해주는 내용을 보고 직선의 방정식(일차함수 식)을 구했어요.

이번에는 그런 설명 없이 그래프를 보고 일차함수 식을 구하는 내용이에요.

그래프를 보고 어떤 특징을 알아내는가가 중요한 것이지 둘 사이에는 차이가 전혀 없어요. 그래프에서 파악할 수 있는 건 모두 파악하는 것이 좋아요. 그리고 그 파악된 내용을 기본으로 어떤 방법으로 직선의 방정식을 구할까 결정하세요.

일차함수 식을 구하는 방법은 네 가지가 있어요.

기울기와 y절편을 알 때
기울기와 한 점의 좌표를 알 때
두 점의 좌표를 알 때
x절편, y절편을 알 때

일반적으로 그래프만 봤을 때는 기울기를 알아내기가 어려워요. 대신 점의 좌표는 알아내기 쉽죠. 그래서 제일 많이 사용하는 방법이 3번이에요. 물론 공부를 열심히 한 학생이라면 그래프에서 두 점의 좌표만 보고도 기울기를 바로 구할 수 있을 거예요.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프를 보고 직선의 방정식 구하기 - 두 점의 좌표를 알 때

먼저 눈에 확 띄는 건 (-3, -4), (3, 2)라는 두 점의 좌표에요. 조금 더 자세히 보면 (0, -1), (1, 0)을 지나는 것도 알 수 있어요.

기울기를 구해보죠.
기울기 =

기울기가 1이니까 함수는 y = x + b라고 쓸 수 있겠네요. 여기에 (3, 2)를 대입해보죠.

2 = 3 + b
b = -1

결국 구하려는 직선의 방정식은 y = x - 1이군요.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프를 보고 직선의 방정식 구하기 - x, y 절편을 알 때

그래프에서는 x절편이 –2, y절편이 2라는 걸 알 수 있어요.

두 점 (-2, 0), (0, 2)을 지나니까 이걸 이용해서 직선의 방정식을 구해보죠.

기울기 =

기울기가 1이고 y절편이 2이니까 직선의 방정식은 y = x + 2이에요.

축에 평행한 직선의 방정식

축에 평행한 직선의 방정식에서 배웠던 내용이에요.

축에 평행한 방정식에서는 기울기를 구할 필요가 없어요. 특히 y축에 평행한 직선의 방정식은 기울기라는 게 없으니까 구하려고 해도 구할 수도 없어요.

x축에 평행한 직선은 모든 y값이 하나로 일정해요. 그래서 y = n 꼴로 그냥 쓰면 돼요. 반대로 y축에 평행한 직선의 x값은 모두 일정해서 x = m이라고 쓰면 돼요.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프를 보고 직선의 방정식 구하기 - x축에 평행한 직선의 방정식

그래프는 x축에 평행한 직선이고 모든 y값이 3이에요. 따라서 직선의 방정식은 y = 3입니다.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프를 보고 직선의 방정식 구하기 - y축에 평행한 직선의 방정식

그래프는 y축에 평행한 직선이고 모든 x값이 2이에요. 따라서 직선의 방정식은 x = 2입니다.

정리해볼까요

그래프를 보고 직선의 방정식 구하기

그래프를 보고 구할 수 있는 내용들을 모두 구하여 아래 방법 중 하나를 택한다.
1. 기울기와 y절편을 알 때
2. 기울기와 한 점의 좌표를 알 때
3. 두 점의 좌표를 알 때
4. x절편, y절편을 알 때

x축에 평행한 직선의 방정식: y = n
y축에 평행한 직선의 방정식: x = m

일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기

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연립방정식의 해와 그래프

그리드형

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일차함수의 식이 주어지면 그래프를 그릴 수 있나요? 거꾸로 이제는 그래프를 보고 또는 그래프의 특징만 보고 일차함수 식을 유추해내야합니다.

이제까지 공부했던 내용들을 총동원해야해요. 일차함수 그래프의 특징, x, y 절편, 기울기 등이요. 또 일차함수 그래프 그리기에서 공부했던 내용도 이해하고 있어야 해요

일차함수식을 구하는 것과 직선의 방정식을 구하는 것은 이름은 다르지만 사실상 같은 얘기라는 것도 알고 있어야하고요.

일차함수 식은 y = ax + b 꼴이므로 기울기와 y절편을 구하는 게 핵심이에요. 여러 경우에 어떻게 일차함수식을 구하는 지 알아보죠.

기울기와 y절편을 알 때 일차함수 식 구하기

y = ax + b라는 일차함수가 있을 때, a는 기울기, b는 y절편이에요.

따라서 함수를 모르더라도 기울기와 y절편을 알면 함수를 바로 구할 수 있겠죠?

기울기와 y절편을 알 때 직선의 방정식 구하기

기울기가 -3이고, y절편이 1인 일차함수를 구하여라.

기울기가 -3, y절편이 1인 일차함수는 y = -3x + 1입니다.

기울기와 한 점의 좌표를 알 때 일차함수 식 구하기

기울기는 함수식에 그대로 대입해보죠. y = ax + b에서 a는 알고 있으니까 b만 구하면 되겠네요.

함수의 그래프가 한 점을 지난다는 얘기는 그 점의 좌표를 함수식에 대입하면 식이 참이 된다는 뜻이죠? 점의 좌표를 y = ax + b에 대입하면 돼요. x와 y는 점의 좌표로 알고 있고, a는 기울기로 주어졌으니까 b를 구할 수 있어요.

기울기와 한 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하기

일차함수 y = 3x + 1 그래프와 평행하고 (3, 2)를 지나는 일차함수를 구하여라.

일차함수 그래프의 평행과 일치에서 그래프가 평행이라면 기울기가 같고 y절편이 달라야 한다고 했어요. 구하고자 하는 일차함수의 그래프가 y = 3x + 1과 평행하니까 기울기는 3이에요. 따라서 구하는 식은 y = 3x + b의 식이겠네요.

y = 3x + b 식이 (3, 2)를 지나니까 점의 좌표를 식에 대입해 보죠.
2 = 3 × 3 + b
b = -7

(3, 2)를 대입해서 b를 구했어요. 결국 구하는 일차함수는 y = 3x – 7이네요.

두 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하기

두 점의 좌표만 알고 있을 때는 먼저 기울기를 구해야 해요. 기울기 구하는 방법은 일차함수와 그래프 - 기울기에 나와 있어요.

이차함수 그래프의 기울기 공식

기울기는 위 방법으로 구할 수 있고, 원래 문제에서 줬던 두 점의 좌표까지 알고 있어요. 그러면 바로 앞에서 했던 기울기와 한 점의 좌표를 알 때 사용했던 방법 그대로 기울기와 점의 좌표를 이용해서 일차함수 식을 구할 수 있어요.

두 점의 좌표를 알 때 일차함수 구하기

두 점 (1, 2), (-2, 17)을 지나는 일차함수 식을 구하여라.

먼저 두 점의 좌표를 이용해서 기울기를 구해보죠.
기울기 = (17 - 2) ÷ (-2 - 1) = 15 ÷ (-3) = -5

기울기가 -5니까 y = -5x + b 라고 놓을 수 있고, 이 그래프가 (1, 2)를 지나니까 대입해보면
2 = -5 × 1 + b
b = 7

따라서 구하고자 하는 일차함수 식은 y = -5x + 7입니다.

x절편, y절편을 알 때 직선의 방정식 구하기

x절편과 y절편을 안다는 건 x, y축과 만나는 두 점의 좌표를 안다는 뜻이고, 이건 그래프 위의 두 점의 좌표를 알려준 것과 같아요. 따라서 바로 위에서 했던 두 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하기 방법에서 했던 것처럼 기울기를 구해야 해요. 기울기를 구하고 거기에 x절편과 y절편을 알고 있으니까 첫 번째 "기울기와 y절편을 알 때 일차함수" 구하기 방법을 사용하면 되겠죠?

두 점의 좌표를 알 때 + 기울기와 y절편을 알 때를 섞어서 사용하면 돼요.

x절편, y절편을 알 때 직선의 방정식 구하기

(-1, 0), (0, 2)를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

두 점의 좌표를 줬는데, 자세히 보니까 각각 x, y의 좌표가 0일 때로 x절편, y절편이네요. 이 내용을 먼저 알아두세요.

두 점의 좌표를 줬으니까 기울기를 구해야겠죠?
기울기 = {2 - 0} ÷ {0 - (-1)} = 2 ÷ 1 = 2

기울기가 2니까 y = 2x + b라고 할 수 있겠고 두 점 (-1, 0), (0, 2)를 지나니까 한 점의 좌표를 식에 넣어서 b를 구할 수 있어요. 하지만 그보다는 y절편이 b라는 사실을 알고 있으니까 (0, 2)를 이용해서 바로 y = 2x + 2를 구할 수 있겠죠?