제1 코사인법칙
사인법칙, 코사인법칙 총정리
사인법칙, 제1 코사인법칙, 제2 코사인법칙을 서로 비교해서 특징과 차이를 총정리하는 시간을 가져볼게요.
공식을 외우는 건 어쩌면 그리 어려운 건 아닐 거예요. 그런데 어떤 조건이 있을 때 어떤 공식을 사용해야 하는지는 무척 헷갈리죠. 어차피 삼각형이야 변의 길이, 각의 크기를 알려주고 알려주지 않은 나머지 변의 길이와 각의 크기를 구하는 거라서 문제에서 주는 정보가 다 거기서 거기거든요.
이 글에서는 세 가지 공식을 한 번 더 정리해보고 어떤 경우에 어떤 공식을 사용해야 하는지까지 알아보죠.
사인법칙, 코사인법칙 총정리
일단 각 법칙을 다시 한 번 써보고 어떤 특징이 있는지 알아봐요.
사인법칙
△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때
a, B, C를 알 때 삼각형 내각의 합은 180°니까 A를 알 수 있고 이를 이용해서 b를 구할 수 있어요. b, A, C를 알 때는 B를 알 수 있고 이를 이용해서 a를 구할 수 있고요. 이건 한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때로 정리할 수 있죠.
또, a, b와 A를 알 때 B를 구할 수 있어요. a, b, B를 알 때 A를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 다른 각의 크기를 알 때로 정리할 수 있어요.
제1 코사인법칙
△ABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때
- a = bcosC + ccosB
- b = ccosA + acosC
- c = acosB + bcosA
첫 번째 a = bcosC + ccosB를 보죠. 두 각의 크기(B, C)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 다섯 가지 항목으로 되어 있어요.
기본적으로 b, c, B, C를 알 때 a를 구할 수 있어요. 두 변의 길이와 두 대각의 크기를 알 때에요.
a, b, c, B를 알 때 C를 구할 수 있어요. 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때죠.
제2 코사인법칙
- a2 = b2 + c2 - 2bccosA
- b2 = c2 + a2 - 2cacosB
- c2 = a2 + b2 - 2abcosC
첫 번째 a2 = b2 + c2 - 2bccosA를 보죠. 한 각의 크기(A)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요.
b, c, A를 알면 a를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때로 정리할 수 있죠.
a, b, c를 알면 A를 구할 수 있어요. 세 변의 길이를 알 때로 정리할 수 있어요.
사인법칙, 코사인법칙의 비교
세 가지 법칙을 봤는데 그 공식만 봐도 어떤 경우에 어떤 값을 구할 수 있는지 알 수 있어요. 이걸 다시 한 번 정리해보죠.
| 공식 | 사용 | |
|---|---|---|
| 사인법칙 |  |
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| 제1 코사인법칙 |
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| 제2 코사인법칙 |
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삼각형의 합동조건과 비교해서 외우면 좋아요. SSS, SAS, ASA
SSS, SAS → 제2 코사인법칙
ASA, SSA → 사인법칙 (∵ SSA는 합동조건은 아니고 두 변과 끼인각이 아닌 각을 외우기 위한 팁정도로 생각하세요.)
ASSA, SSSA → 제1 코사인법칙
사인법칙과 제2 코사인법칙은 세 가지만 알고 있으면 다른 하나를 구할 수 있어요. 제1 코사인법칙은 네 가지 조건을 알고 있을 때 다른 하나를 구할 수 있고요. 문제에서 조건을 충분히 알려주는 경우는 많지 않으니까 사인법칙, 제2 코사인법칙보다 제1 코사인법칙을 사용하는 경우는 더 적죠. 그래서 제1 코사인법칙을 사용하는 조건은 굳이 외우지 않아도 상관없어요.
다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 2cm, b = 3cm, C = 60°일 때, c를 구하여라.
(1)번은 한 변의 길이와 양끝각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 뜻이죠.
삼각형에서 두 내각의 크기를 알면 나머지 한 내각의 크기도 구할 수 있죠? C = 180° - (30° + 60°) = 90°
(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줬어요. 제2 코사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 얘기에요.
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코사인법칙, 제1코사인법칙 증명
사인법칙에 이어 코사인법칙이에요. 코사인법칙은 두 개가 있는데 이 글에서는 제1 코사인법칙에 대해서 알아볼 거예요.
제1 코사인법칙은 그리 많이 사용하는 법칙은 아니에요. 그렇다고 전혀 사용하지 않는 것도 아니고 특히 다음에 공부할 제2 코사인법칙을 유도하는 과정에서 꼭 필요하기 때문에 반드시 알아야 하는 법칙입니다.
공식의 모양이 특징을 가지고 있어서 모양만 잘 보면 금방 외울 수 있어요.
코사인법칙
사인법칙은 세 변의 길이와 세 각의 sin, 외접원의 반지름 사이의 관계였어요. 코사인법칙은 한 변의 길이와 다른 두 변, 그 대각 사이의 관계를 나타내는 식이에요.
△ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고, 그 대변을 a, b, c라고 할 때 다음의 성질이 성립해요.
△ABC의 세 각을 A, B, C라 하고 그 대변을 a, b, c라고 할 때
a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA
코사인법칙을 잘 보면 a를 구할 때 b와 cosC를 곱한 것에 c와 cosB를 곱한 걸 더해주는 거예요. 두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알 때 다른 한 변의 길이를 구하는 공식이지요. 두 변의 길이와 두 각의 cos을 교차로 곱해주는 게 특징이에요.
증명해 볼까요? a = bcosC + ccosB부터 증명해보죠. C를 이용해서 증명할 거예요.
코사인법칙 증명 - 예각일 때
첫 번째 c가 예각일 때에요.
A에서 
a = 
cosB와 cosC를 이용해서
△ABH에서
△ACH에서
결국 a =
코사인법칙 증명 - 직각일 때
이번에는 C가 직각일 때에요.
C가 직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없어요.
cosC = cos90° = 0 → bcosC = 0
a = bcosC + ccosB가 성립해요.
코사인법칙 증명 - 둔각일 때
C가 둔각일 때에요.
A에서
a =
cosB와 cosC를 이용해서
△ABH에서 
△ACH에서
a =
세 경우를 통해서 C의 크기와 상관없이 a = bcosC + ccosB가 성립하는 걸 알 수 있어요. C가 아니라 A, B의 각을 바꿔가면서 같은 방법으로 증명하면 b = ccosA + acosC, c = bcosA + acosB가 성립하는 걸 확인할 수 있어요.
△ABC에서 A = 30°, B = 45°, a = 6cm일 때, b, c, C를 구하여라.
코사인법칙을 이용하려면 두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알아야 해요. 하지만 문제에서는 한 변의 길이와 두 각의 크기를 알려줬어요. 두 각은 길이를 아는 변의 양 끝각이 아니네요.
일단 남은 한 각의 크기를 구해보죠. C = 180° - (30° + 45°) = 105°네요.
세 각의 크기를 알았어요. 원래 한 변의 길이는 알고 있으니 결국 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알게 된 거죠. 그러면 사인법칙을 이용할 수 있지요.
sin105°를 우리는 외우고 있지 않죠? 물론 삼각함수표를 사용하면 그 값을 알 수 있지만 외우고 있지는 않아요. 그렇다고 c를 구할 수 없는 건 아니에요. 이제 두 각의 크기(A, B)와 그 대변의 길이(a, b)를 알고 있으니까 코사인법칙을 이용해서 구하면 돼요.
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