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i² = -1이었죠? 그럼 i³, i⁴는 얼마일까요? i의 거듭제곱은 일정한 패턴이 있어요. 이 패턴을 이용하면 i¹⁰⁰, i¹⁰⁰⁰처럼 지수가 아무리 크더라도 그 값을 구할 수 있어요. 어떤 패턴이 있는지 알아보죠.

중학교에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 근호는 그대로 두고, 근호 안의 숫자끼리만 곱하거나 나누면 된다고 공부했어요. 그런데 근호 안의 숫자가 양수라는 조건이 있었죠.

허수는 근호 안의 숫자가 음수예요. 과연 근호 안의 숫자가 음수일 때도 같은 성질이 성립하는지 아니면 성립하지 않는지 알아볼 거예요.

i의 거듭제곱

i를 거듭제곱하면 특별한 성질을 발견할 수 있어요. 거듭제곱을 해보죠.

i = i
i² = -1
i³ = i × i² = i × (-1) = -i
i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1
i⁵ = i × i⁴ = i × 1 = i
i⁶ = i² × i⁴ = (-1) × 1 = -1
i⁷ = i³ × i⁴ = -i × 1 = -i
i⁸ = i⁴ × i⁴ = 1 × 1 = 1

결과만 보면, i, -1, -i, 1이 계속 반복되고 있어요.
지수가 1, 5, 9, 13, …이면 i
지수가 2, 6, 10, 14, …이면 -1
지수가 3, 7, 11, 15, …이면 -i
지수가 4, 8, 12, 16, …이면 1

지수를 수식으로 표현하면 i의 거듭제곱은 순환하는 걸 알 수 있어요.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹를 간단히 하여라.

i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1이 계속 반복돼요. 또 i^4n-3 + i^4n-2 + i^4n-1 + i⁴ⁿ = i + (-1) + (-i) + 1 = 0이에요. i의 거듭제곱 중 연속하는 네 개의 합은 0이 되는 거죠.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹
= i²⁰⁹⁷ + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹               (∵ 앞에서부터 4개씩의 합 = 0)
= i²⁰⁹⁶(i + i² + i³)                      (∵ i²⁰⁹⁶로 묶기)
= i + i² + i³                                (∵ i⁴ⁿ = 1)
= i - 1 - i
= -1

음수의 제곱근의 성질

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근을 씌워주면 된다고 했어요.

그런데 허수의 제곱근에서도 이렇게 될까요?

이 식은 틀렸어요. 근호 속의 (-1)을 i로 바꿔서 계산해보죠.

근호안의 숫자는 6으로 같은데, 부호가 다르죠? 왜냐하면, 근호 안에 있는 (-1)때문이에요. ()² = i² = -1이잖아요.

여기서는 그냥 근호 안의 숫자를 곱해주기만 했어요.

위 세 가지 예의 차이를 보죠.

첫 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 양수예요.

두 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수고요.

세 번째 은 근호 안의 숫자가 하나는 양수, 하나는 음수예요.

즉, 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때에만 근호 앞에 (-)가 붙어요.

그럼 곱셈이 아니라 나눗셈을 해보죠. 제곱근의 나눗셈에서는 근호 안의 숫자만 그냥 바로 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었죠?

근호 안이 둘 다 음수일 때를 해보죠.

둘 다 근호 안이 음수일 때는 그냥 근호 안의 숫자끼리만 나눠준 것과 같아요.

이번에는 분모의 근호 안은 양수이고, 분자의 근호 안은 음수일 때에요.

분모의 근호 안은 양수, 분자의 근호 안은 음수이면 그냥 근호 안의 숫자끼리 나눠준 것과 같네요.

이번에는 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때에요.

근호 안의 숫자끼리 계산했는데, 근호 앞에 (-)가 붙었어요.

네 가지 경우를 봤는데, 정리해보면 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때는 근호 앞에 (-)가 붙고, 그 외에는 (-)가 붙지 않아요. 그리고 숫자는 그냥 그대로 나누죠.

음수의 제곱근의 성질

두 가지 경우를 제외하고는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 했던 대로 근호 안의 숫자의 부호는 상관없이 그냥 숫자끼리 곱하거나 나누면 돼요.

다음을 간단히 하여라.

음수의 제곱근의 성질에서 곱셈은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때만 앞에 (-)를 붙이고 숫자끼리 곱해주는 거였고, 나눗셈은 분모의 근호 안의 숫자만 음수일 때 (-)를 붙이고 숫자끼리 나눠주는 거였어요.

(1)

(2) 앞에서부터 차례대로 계산해보죠.

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[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 곱셈과 나눗셈

제곱근의 사칙연산 첫번째에요. 사칙연산에서는 보통 덧셈과 뺄셈을 먼저하는데, 여기서는 곱셈과 나눗셈을 먼저할께요. 왜냐고요? 더 쉬우니까요.

제곱근의 곱셈과 나눗셈은 제곱과 제곱근의 관계를 잘 알고 있다면 이해하기 쉬워요. 계산은 더 쉽고요. 규칙이라고 하기에도 좀 민망하죠.

또, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있어요. 따라서 곱셈만 할 줄 알면 나눗셈은 그냥 덤으로 할 수 있게돼요.

블로그에 쓰려다보니 기호가 너무 많아져서 복잡하네요. 예제는 생략하도록 할께요. 교과서의 예제 문제쯤은 그냥 간단히 풀 수 있을 거예요.

제곱근의 곱셈

제곱근끼리의 곱셈

은 얼마일까요? 숫자만 곱해서 이면 좋겠지요? 실제로 얼마인지 해볼까요?

을 제곱해보죠.

이죠. 제곱근의 뜻에 따르면 제곱과 제곱근은 서로 반대의 의미이므로 은 2 × 3의 양의 제곱근이에요.

그런데 2 × 3 = 6으로 6의 양의 제곱근은 이에요. 결국  = 이 되는 거죠.

제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근 기호를 씌워주면 돼요.

정수와 제곱근의 곱셈

제곱근과 정수의 곱은 더 쉬워요.곱셈기호는 생략할 수 있어요. 그래서 그냥 생략해서 쓰면 돼요.  2 × =

이번에는 풀어서 계산해보죠.

이 되는 걸 알 수 있죠? 즉, 근호 앞의 정수는 제곱해서 근호안에 넣고, 원래 근호 안에 있던 숫자와 곱해주면 되는 거지요. 반대로 근호 안에 제곱인 수가 곱해져 있다면 근호 앞으로 빼낼 수 있어요.

제곱근의 곱셈

이번에는 조금 더 복잡한 거에요.를 해보죠.

근호 앞의 정수는 정수끼리, 제곱근은 제곱근끼리 곱하는 걸 알 수 있죠?

위 세 가지를 정리해보죠.

제곱근의 나눗셈

기본적으로 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있으니까 곱셈에서 했던 세 가지 성질이 똑같이 적용됩니다.

를 해보죠. 마찬가지로 제곱을 합니다. 

제곱과 제곱근의 관계에 따라서 의 양의 제곱근으로 가 돼요. 제곱근의 나눗셈은 근호 안의 숫자끼리 나누고 근호를 씌워주면 되는 거죠.

근호 앞의 분수는 제곱을 해서 근호 안에 넣고, 반대로 근호 안의 분수의 제곱을 근호 밖으로 뺄 수도 있죠.

근호 앞에 정수가 있다면 정수끼리 나누고, 제곱근끼리 나눌 수 있어요.