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이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.

대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.

정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.

직육면체 대각선의 길이

아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이 를 말해요.

피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?

그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.

△ABC에서 는 빗변이니까 = a² + b²이 돼요.

자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까

 =  + 
 = a² + b² + c²
 =

세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = 이므로 대입하면

정육면체 대각선의 길이

정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.

정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?

참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요.

모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = (cm)

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정삼각형이 뭔지 알죠? 정사각형, 정오각형도요.

정삼각형, 정사각형, 정오각형 등을 정다각형이라고 해요. 선분의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형이죠.

다면체에도 이런 다각형처럼 정다면체라는 게 있어요. 이번 글에서는 정다면체는 무엇인지 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

그림 그리는 게 너무 어려워서 그림은 없어요. 가지고 있는 교과서나 참고서의 그림을 참고하세요.

정다면체

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말해요.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지밖에 없어요. 정오면체나 정구면체같은 건 없다는 거지요.

정다면체가 되려면 두 가지 조건을 만족해야 해요.

첫 번째는 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 해요. 한 꼭짓점에서 면이 하나만 있거나 두 개만 만나면 둘러싸이지 않은 부분이 생기지요?

두 번째는 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기는 360°보다 작아야 해요. 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기가 360°라면 그것은 그냥 평면이 돼버리잖아요. 그리고 한 평면에서 360°보다 큰 각은 나오지 않겠죠?

위 두 가지 조건을 만족하는 정다면체는 뭐가 있을까요?

모든 면이 합동인 정다각형이라고 했으니까 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 면이 될 수 있어요.

그리고 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나면서 그 각의 합이 360°보다 작은 경우를 찾아보죠.

다각형 내각의 크기의 합과 외각 크기의 합에서 봤던 것처럼 정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 내각은 90°, 정오각형은 108°, 정육각형은 120°에요.

위 표에서 보면 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°를 넘지 않는 경우는 정삼각형이 3, 4, 5개 모였을 때, 정사각형이 3개 모였을 때, 정오각형이 3개 모였을 때 총 다섯 가지 경우뿐이에요.

그래서 정다면체는 총 다섯 개밖에 없는 거예요.

한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모이면 정사면체
                   "            4         "     정팔면체
                   "            5         "     정이십면체
         "      정사각형   3         "     정육면체
         "      정오각형   3         "     정십이면체

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