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이차방정식의 해를 구할 때, 인수분해를 했었죠? 그런데 또 이차방정식의 인수분해라니 약간 이상할 거예요.

방정식의 해를 구할 때 인수분해 공식을 사용해서 인수분해할 수 있어요. 이글에서는 인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 인수분해하는 방법에 대해서 공부할 거예요.

이차방정식을 인수분해해서 해를 구하는 과정을 거꾸로만 하면 되는 쉬운 내용이에요.

인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 이차방정식을 인수분해하는 방법을 알아보죠.

이차방정식의 인수분해

이차방정식을 인수분해하려면 인수분해 공식을 이용하죠. 그런데 이 공식은 계수가 정수인 경우에 사용할 수 있어요. 그나마도 X자 방법을 할 수 있을 때죠. X자 방법을 사용할 수 없거나 계수가 분수, 소수, 무리수가 들어있다면 인수분해하기가 힘들죠.

2x² - 2x + 2 = 0 이런 식은 인수분해 공식으로 인수분해할 수 없죠?

이럴 때 아주 간단한 방법으로 인수분해를 할 수 있어요. 보통은 이차방정식을 인수분해해서 근을 구하죠? 이 과정을 거꾸로 해서 근을 구한 다음에 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때, 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 아래 식을 유도할 수 있어요.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식의 두 근과 이차항의 계수를 알면 a(x - α)(x - β) = 0로 인수분해를 할 수 있겠죠?

이차방정식의 두 근을 알아내려면 근의 공식을 이용하면 돼요.

이차방정식의 인수분해
1. 인수분해 공식을 이용해서 인수분해
2. 인수분해 공식을 사용할 수 없으면 근의 공식으로 근을 구하고, 이차항의 계수와 두 근을 이용해서 인수분해

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근이 α, β일 때,
a(x - α)(x - β) = 0

다음 이차방정식을 복소수 범위에서 인수분해하여라.
(1) x² - 5x + 3 = 0
(2) 2x² - 2x + 2 = 0

일단 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 할 수 있다면 공식을 이용하세요. 공식으로 안 되면 그때 근을 구해서 하는 겁니다.

(1) 인수분해 공식으로 인수분해가 안 되니 근을 구해서 해야겠네요.

x² - 5x + 3 = 0

(2)번도 근을 구해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

2x² - 2x + 2 = 0

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유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.

여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.

모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.

유리식의 계산

조건식이 방정식일 때

조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.

아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.

x² + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x³
(2) x³ +

(1) 인수분해 공식 중에 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b² ), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)이 있어요.

x² + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x² + x + 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0·(x - 1)
x³ - 1 = 0
x³ = 1

x² - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.

(2) 이죠? 그러니까 x² + x + 1 = 0으로 x + 의 값을 구해야 해요.

x² + x + 1 = 0
x² + 1 = -x
x +  = -1   (∵ 양변 ÷ x)

좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.

= (-1)³ - 3(-1)
= -1 + 3
= 2

이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

조건식이 두 문자가 있는 등식일 때

이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.

조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입

4x = 2y일 때 을 구하여라.

4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x

y= 2x를 문제에 대입

x = 2y = 3z일 때, 을 구하여라.

x = 2y
y = x

x = 3z
z = x

y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.

마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.

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인수분해는 중학교 때 인수분해, 공통인수로 인수분해에서 다 해봤어요. 고등학교에서 하는 인수분해의 개념이나 기본 공식은 똑같아요. 대신 항의 개수가 많아지고 차수가 높아지는 등 수준이 더 어려워진 것뿐이에요.

인수분해는 전개의 반대과정이에요. 전개할 때는 공셈공식을 사용하니까 인수분해는 공셈공식을 거꾸로 사용하면 되는 거죠. 따라서 인수분해 공식이라고 따로 외우는 게 아니라 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸면 돼요.

곱셈공식, 곱셈공식 유도를 보고 공식을 잘 외웠다면 이번 글은 별로 어렵지 않을 거예요.

인수분해공식

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 걸 말해요. 그 곱을 이루고 있는 다항식을 인수라고 하고요. 숫자의 약수와 비슷한 거예요.

인수분해를 할 때 가장 먼저 해야 할 일은 공통인수로 묶는 거예요. 공통인수로 묶은 다음에 공식을 적용하는 거죠. 공통인수가 없다면 바로 공식을 사용해도 되고요.

인수분해는 전개의 반대과정이니까 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸기만 하면 인수분해 공식이 돼요.

먼저 중학교 때 공부했던 인수분해 공식 다섯 개를 확인해보죠. 인수분해 공식 1 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

공식 말고 X자로 했던 것도 기억하나요?

위 모든 게 다 기억나죠?

다음은 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 했던 공식들의 좌, 우변을 바꾼 인수분해 공식이에요.

(1) ma + mb + mc = m(a + b + c)
(2) a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)²
(3) a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
     a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
(4) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
     a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
(5) a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
                                    = (a + b + c){(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

(1)번은 인수분해의 가장 기본인 공통인수로 묶기를 나태나는 거예요. (2), (3), (4)는 곱셈공식을 거꾸로 한 거고요. (5)의 아랫줄에 있는 공식은 곱셈공식의 변형에서 했던 a² + b² + c² - ab - bc - ca = {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}을 적용한 거예요.

다음을 인수분해하여라.
(1) x² - 5x + 6
(2) x³y - xy³
(3) 4x² + y² + 9z² + 4xy - 6yz - 12zx
(4) x³ - 3x²y + 3xy² - y³

인수분해는 공통인수로 묶은 다음에 인수분해 공식을 이용해야 해요.

(1)은 공통인수가 없네요. X자를 이용해서 해도 좋고, 공식을 이용해도 좋아요. 하지만 이 정도 문제는 암산으로 바로 풀 수 있을 정도가 되어야 해요.

x² - 5x + 6 = (x -2)(x -3)

(2)은 두 항에 xy라는 공통인수가 있어요. 이걸로 묶고 공식을 적용해야 하죠.

x³y - xy³ = xy(x² - y²) = xy(x + y)(x - y)

(3)번은 항이 무척 많네요. 항을 잘 보면 제곱인 항이 3개가 있으니까 위 인수분해 공식에서 (2)번에 해당하는 문제예요.
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)²

4x² + y² + 9z² + 4xy - 6yz - 12zx
= (2x)² + y² + (-3z)² + 2(2x)y + 2y(-3z) + 2(-3z)(2x)
= (2x + y - 3z)²

(4)번은 세제곱인 항이 두 개있고, 이들이 섞여 있는 항이 두 개니까 (3)번 공식에 해당하는 문제예요. 그런데 y³이 (-)네요.
a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³

x³ - 3x²y + 3xy² - y³
= (x - y)³

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앞에서는 항의 개수가 3개 이하일 때를 해봤는데, 이제는 항의 개수가 4개 이상인 복잡한 식의 인수분해입니다.

항의 개수가 늘어나면 늘어난 만큼 식도 복잡해지고 계산 방법도 복잡해져요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환에서는 식의 모양을 바꾸서 인수분해를 했었는데, 이 글에서는 두 번의 인수분해 과정을 거쳐야 답이 나오는 경우에요.

그리고, 앞에서 공부했던 인수분해의 공식과 원리가 총 동원된 문제들이 나옵니다. 제법 어려운 문제들이니 틀리지 않게 주의해서 잘 보세요.

항이 4개 일 때

항이 네 개일 때, 모든 항에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶으세요. 4개의 항에 공통인수가 없을 때는 다른 방법을 사용해야 해요.

2-2로 짝짓기

4개 모두에 해당하는 공통인수가 없다면 2개씩 짝을 짓고, 각 쌍을 공통인수로 묶어요. 각각을 공통인수로 묶어서 두 개의 항으로 만들면 다시 공통인수가 생기는데, 그때 다시 공통인수로 묶어주면 돼요.

xy - x - y + 1을 보죠. 항은 4개인데, 4개 항에 모두 공통으로 들어있는 인수가 없어요. 2개씩 묶어보죠.
xy - x - y + 1
= (xy - x) + (-y + 1)
= x(y - 1) - (y - 1)

앞 두 개의 항에는 x라는 공통인수가 있고, 뒤 두 개의 항에는 (-1)이라는 공통인수가 있어요. 각각을 따로 인수분해했더니 양쪽 모두에 (y - 1)이라는 항이 있네요. y - 1 = t로 치환해보죠.

= xt - t
= (x - 1)t
= (x - 1)(y - 1)

y - 1 = t이므로 마지막 줄에서 원래 값을 대입했더니 인수분해가 끝났어요. 계산에 익숙해지면 이 정도 식은 따로 치환하는 식을 넣지 않고도 바로 계산할 수 있을 거예요.

1. 4개의 항을 2개씩 2쌍으로 짝짓기
2. 각 쌍에서 공통인수를 찾아서 각각을 인수분해
3. 두 쌍에서 공통인수를 찾아서 한 번 더 인수분해

3-1로 짝짓기

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x) + 9 - y²
= x(x - 6) + (3 + y)(3 - y)

4개의 항이 있어서 앞의 두 개, 뒤의 두 개의 항으로 묶어서 해봤는데, 인수분해가 안 돼요. 방법이 틀렸다는 얘기예요. 이때는 2개씩 짝을 짓는 것 말고 다른 방법을 써야 해요.

앞의 3개와 뒤의 1개를 따로 짝을 지어보죠.

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x + 9) - y²
= (x - 3)² - y²
= (x - 3 + y)(x - 3 - y)
= (x + y - 3)(x - y - 3)

앞의 세 개와 뒤의 하나로 짝을 지었더니 인수분해가 되네요. 경우에 따라서는 앞의 한 개와 뒤의 3개를 짝 지어야 하는 경우도 있어요. 이런 경우는 대부분 한 개짜리가 제곱이고, 세 개짜리는 완전제곱식이며 이 둘은 (제곱 - 제곱)의 형태가 될 때가 많아요.

3 - 1로 할 건지, 1 - 3으로 할 건지는 일차항을 보면 쉽게 판단할 수 있어요. 예를 들어 x, y의 문자가 모두 들어있는 식에서 x의 일차항이 있으면 x², x, 상수항의 3개를 묶고, 남은 y항을 하나로 해요.

x² - 2x - 8 - y² 에서는 일차항이 -2x이므로 x², -2x, -8을 묶어요.
x² - y² + 2y + 8에서는 일차항이 2y이므로 -y², 2y, 8을 묶으세요.

1. 3 - 1 로 짝짓기
2. 3 개짜리 항을 완전제곱식으로 인수분해
3. 1개짜리 항과 ②의 완전제곱식을 합차공식으로 인수분해

항이 5개 이상일 때

항이 5개 이상인 경우는 많이 나오는 경우는 아닌데, 그래도 알아 두면 좋아요. 이때는 문자의 차수가 가장 낮은 한 문자를 선택해서 그 문자에 대해 차수가 높은 순에서 낮은 순서로 항들의 위치를 바꾼 다음에 인수분해를 합니다. 차수가 높은 순에서 낮은 순으로 쓰는 걸 내림차순으로 정리한다고 표현해요.

이때, 선택한 문자가 들어있지 않은 항은 모두 상수항 취급하세요. 예를 들어 y라는 문자를 선택했다면 x²항도 상수항이에요.

x² + xy - 5x - 2y + 6를 볼까요?

항이 5개, 문자는 x, y의 2개예요. 복잡하네요. x는 2차, y는 1차죠? 그렇다면 차수가 낮은 y를 선택하고 차수가 높은 것에서 낮은 순서대로 항의 위치를 바꿔요. 우선 y의 1차인 xy, -2y를 먼저 쓰고 나머지를 그 뒤에 쓰죠.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6

순서를 바꾸고 보니까 앞의 두 항에는 y라는 공통인수가 들어있고, 뒤의 세 항은 인수분해가 되네요. 정리해보죠.
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)

정리하고 보니까 (x - 2)라는 부분이 양쪽 모두에 들어있죠? x - 2 = t라고 치환하죠.
= yt + t(x - 3)
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)

한꺼번에 모아서 다시 써볼게요.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6         ∵ y에 대해서 내림차순 정리
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)    ∵ 공통인수로 묶기, 인수분해
= yt + t(x - 3)                    ∵ x - 2 = t로 치환
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)              ∵ t = x - 2 대입

복잡한 과정을 거쳐서 인수분해를 할 수 있었어요.

항이 5개 이상일 때: 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리 후 인수분해

참고로 항이 4개인데, 2 - 2, 3 - 1로 묶이지 않을 때에도 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리해보면 묶을 수 있는 경우가 있어요. 이 점도 기억해두세요.

다음을 인수분해 하여라.
(1) 3xy - 6y² - x + 2y
(2) 9x² - 4y² + 16y - 16
(3) x² + xy - x - 2y - 2

(1)은 네 개의 항으로 되어있어요. 네 항 모두에 들어있는 공통인수가 없기때문에 앞의 두 개와 뒤의 두 개를 따로 따로 인수분해해보죠.
3xy - 6y² - x + 2y
= 3y(x - 2y) - (x - 2y)
= (3y - 1)(x - 2y)

(2)는 앞의 두 개, 뒤의 두 개로 나누어도 공통인수가 없어요. 다른 방법을 해야한다는 뜻이에요. 3 - 1로 묶어보죠. 그런데, 뒤에 2, 3번째 항에 y라는 문자가 들어있으니까 앞의 하나와 뒤의 세 항으로 나누어 묶어보죠.
9x² - 4y² + 16y - 16
= (3x)² - 4(y² -4y + 4)
= (3x)² -4(y - 2)²
= (3x)² - {2(y - 2)}²
= {3x + 2(y - 2)}{3x - 2(y - 2)}
= (3x + 2y - 4)(3x - 2y + 4)

(3)번은 항이 다섯개나 있네요. 이 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리를 해요. x는 이차, y는 일차이므로 y의 내림차순으로 정리해보죠.
x² + xy - x - 2y - 2
= xy - 2y + x² - x - 2
= (x - 2)y + (x - 2)(x + 1)
= (x - 2)(y + x + 1)

곱셈공식은 다섯개가 있었어요. 인수분해 공식도 다섯개가 있어요. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식에서 세 개 공부했으니까 남은 두 개를 해보죠. 곱셈공식에서도 4, 5번 공식이 좀 어려웠죠? 인수분해 공식도 4, 5번이 어려워요.

인수분해는 다음 단원인 이차방정식에서 꼭 해야하는 거라서 대충하고 넘어가면 안돼요. 그리고 고등학교 올라가면 또 나와요.

중학 과정에서 인수분해는 정수 범위 내에서 합니다. 아주 가끔 유리수가 나오기도 하는데, 그건 1년에 한 문제 볼까말까 하니까 신경 안써도 돼요.

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1일 때

인수분해 공식 네 번째는 이차항의 계수가 1이 아닐 때에요. 보통은 x에 관한 이차식이 나와요.

곱셈공식에서 계수가 1인 두 일차식의 곱셈은 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab 였죠? 이거를 거꾸로 하는 거에요.

x² + 합x + 곱으로 되어 있는 꼴이지요. 여기서 할 일은 합해서 일차항의 계수, 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 찾는 거에요.

x² + 3x + 2를 인수분해 해볼까요? 할 일이 뭐라고요? 더해서 3이 나오고 곱해서 2가 되는 수를 찾는 거에요. 대게 곱하서 상수항이 나오는 수를 먼저 찾아요. 곱해서 2가 나오는 두 수는 (1, 2), (-1, -2) 가 있지요? 이 두 개 중에 더해서 3이 되는 수는 (1, 2)에요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해가 제대로 됐는 지 확인하고 싶다면, 인수분해 결과를 곱셈공식으로 전개해서 문제의 식이 나오는지 보면 돼요.

간단한 인수분해는 숫자를 직접 찾아서 할 수 있는데, 대부분 이차식의 인수분해를 할 때는 X자 방법을 사용해요.

1. 먼저 이차식을 쓰고
2. 이차항의 아래에 x를 세로로 두 번 써요. 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 상수항 아래에 세로로 씁니다.
3. x와 상수항 아래의 숫자를 X 방향으로 곱해요.
4. 곱한 결과를 더해서 일차항이 나오는 지 확인합니다.
5. 일차항과 같다면 같은 줄에 있는 x와 숫자를 괄호로 묶어요.
   일차항과 다르다면 ②로 돌아가 곱해서 상수항이 나오는 다른 숫자를 쓰고 다시 반복합니다.
6. 괄호로 묶은 두 식을 곱셈으로 바꿔주면 인수분해가 끝납니다.

다음 식을 인수분해 하여라.
(1) x² + 6x + 8
(2) x² - 5x + 6

(1) x² + 6x + 8에서 곱해서 상수항 8이 되는 수는 (2, 4) (-2, -4), (1, 8), (-1, -8)이 있어요. 하나씩 해볼까요?

x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 4)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 4x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 6x가 됐죠? 더한 결과 6x는 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 2를 괄호로 묶고, 다음 줄에 있는 x와 4를 괄호로 묶어서 (x + 2)(x + 4)가 됩니다.

x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

(2) x² - 5x + 6에서 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)이 있어요.

x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 3)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 3x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 5x가 됐죠? 더한 결과 5x는 일차항과 다르죠? 일차항은 -5x에요.

다른 수를 대입해봐야 겠네요. (-2, -3)을 대입해보죠.

계산해봤더니 일차항과 같은 -5x가 나와요. 같은 줄에 있는 x와 -2를 묶어서 (x - 2), 다음 줄에 있는 x와 -3을 묶어서 (x - 3)을 구하고 이 둘을 곱해요.

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

이차항의 계수가 1이 아닐 때 사용하는 인수분해 공식은 많이 복잡해요. 곱셈공식에서도 복잡했잖아요. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd 였어요.

이걸 인수분해할 때도 위와 같은 X자 방법을 써요. 순서도 다 똑같아요. 대신에 곱해서 x²의 계수가 되는 두 수와 곱해서 상수항이 되는 두 수, 이렇게 총 4개의 수를 찾아야 해요.

2x² + 7x + 3을 인수분해 해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

먼저 곱해서 이차항의 계수 2가 나오는 수는 (1, 2), (2, 1)이 있어요. (-1, -2), (-2, -1)도 있지만 여기서는 생략해도 됩니다. 상수항에서 부호를 바꾸면 결과가 같아지니까 이차항에서는 반대 부호를 해보지 않아도 돼요. 이거는 계산을 몇 번 해보면 자연스럽게 이해가 될 거에요.

곱해서 상수항 3이 되는 두 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이 있어요.

이차항에는 (1, 2) 상수항에는 (1, 3)을 넣어서 X자 방법을 해보죠.

x × 3 = 3x, 2x × 1 = 2x. 이 둘을 더하면 5x가 되어서 일차항과 다르네요. 이건 답이 아니에요. 이번에는 이차항에 (1, 2), 상수항에는 (3, 1)을 넣어보죠.

x × 2 = 2x, 2x × 3 = 6x. 이 둘을 더한 게 7x가 되어 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 3을 괄호로 묶어서 (x + 3), 아랫줄에 있는 2x와 1을 괄호로 묶어서 (2x + 1). 이 둘을 곱하면 답이 돼요.

x² + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)

이차항의 계수가 1이 아닐 때는 경우의 수가 많이 나와요. 처음부터 바로 답이 나오는 경우가 많지는 않아요. 위 풀이에서는 두 번만에 답을 찾았지만 세 번, 네 번이 넘어가는 경우도 많이 나와요.

인수분해 공식 사용 팁

곱해서 상수항이 되는 두 수를 찾을 때 팁 한가지 알려드릴께요. 단, 위 X자 방법을 완전히 이해한 상태에서 보세요. 이해하지 않은 상태에서 보면 더 헷갈리니까요.

상수항의 부호와 일차항의 부호를 보고 경우의 수를 절반으로 줄이는 방법이에요. 이차항의 계수는 일단 보류하세요.

2x² + 7x + 3을 다시 볼까요? 곱해서 상수항 3이 되는 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이렇게 4개가 있어요. 그런데 일차항이 +7x이므로 둘 다 양수인 (1, 3), (3, 1) 중 하나가 답이 되는 거에요. 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)

x² - 5x + 6을 보세요. 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -5x 이므로 둘 다 음수인 (-2, -3), (-1, -6) 중 하나가 답이 되는 거죠. x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

2x² - 3x - 5를 볼까요? 곱해서 상수항 -5가 되는 수는 (-1, 5), (5, -1), (1, -5), (-5, 1)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -3x로 음수니까 음수의 절댓값이 더 큰 (1, -5), (-5, 1) 중 답이 있어요. 2x² - 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1)

다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.

완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)²처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)²도 완전제곱식이고, 2(x + a)²도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)²이나 (x + a)(x + b)²처럼 말이죠.

완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)², k(a + b)²

어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.

일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A², B²이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.

A² + 2 × A × B + B²

첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.

다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a² + □ + 36
(2) 4a² + 4ab + □

(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a² + □ + 36
= a² + □ + 6²

□ = 2 × a × 6 = 12a

그런데, 36 = 6² = (-6)²이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a² + □ + (-6)²이라고 쓸 수도 있어요.

□ = 2 × a × (-6) = -12a

결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.

(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a² + 4ab + □
= (2a)² + 2 × 2a × b + □

□ = b²

여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.

완전제곱식으로 인수분해

일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a² + 4ab + 4b²
(2) 4a² + 12ab + 9b²
(3) 8a² + 8ab + 2b²

식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?

(1) 모양을 바꿔보면
a² + 4ab + 4b²
= a² + 2 × a × 2b + (2b)²
= (a + 2b)²

(2) 4a² + 12ab + 9b²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= (2a + 3b)²

(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a² + 8ab + 2b²
= 2(4a² + 4ab + b²)
= 2{(2a)² + 2 × 2a × b + b²}
= 2(2a + b)²

인수분해 공식 - 합차공식

곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?

a² - b² = (a + b)(a - b)

다음을 인수분해하여라.
(1) 4a² - 9b²
(2) 3a² - 27b²
(3) a² + 4b²

제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.

(1) 4a² - 9b²
= (2a)² - (3b)²
= (2a + 3b)(2a - 3b)

(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a² - 27b²
= 3(a² - 9b²)
= 3{a² - (3b)²}
= 3(a + 3b)(a - 3b)

(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.

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