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이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 두 번째에요. 이번에는 이차함수뿐 아니라 다른 식의 최대, 최소를 구하는 방법도 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소를 구하는 방법과 조금 다르긴 하지만 한 번에 정리한다고 생각하세요. 새로운 건 아니고 전부터 많이 사용했던 성질들을 이용하므로 너무 어려워하지 마세요.

그리고 이차함수의 최대, 최소를 활용하는 문제도 풀어볼 거예요. 이차함수의 활용은 중학교 때 해본 것과 완전히 똑같아요. 대신에 최대, 최소를 구하는 방법이 조금 어려워질 뿐이죠. 최대, 최소 구하는 방법만 제대로 알고 있으면 돼요.

이차함수의 최대, 최소

조건식이 있을 때 이차함수의 최대, 최소

x, y에 관한 조건식과 최대, 최소를 구하는 식 두 개를 알려주는 경우예요. 이때는 조건식을 한 문자에 관해 정리해서 다른 식에 대입해요.

실수 x, y에 대하여 x² + y² = 4일 때, 2x + y²의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

조건식이 x² + y² = 4이네요. 한 문자에 관해서 정리해보죠.
y² = 4 - x²

2x + y² = 2x + 4 - x² = -x² + 2x + 4 = -(x - 1)² + 5

위로 볼록한 이차함수이므로 최댓값 5만 가질까요? 아니에요. 왜냐하면, 조건식에서 x의 범위를 구할 수 있거든요.

(실수)² ≥ 0이므로 y² = 4 - x² ≥ 0이에요.
4 - x² ≥ 0
x² - 4 ≤ 0
(x + 2)(x - 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 2

정의역이 -2 ≤ x ≤ 2이고, 이차함수의 꼭짓점 (1, 5)가 정의역에 포함되므로 양쪽 경곗값과 꼭짓점에서의 y값을 비교해서 최대, 최소를 구해야 해요. 최댓값은 x = 1일 때 5, 최솟값은 x = -2일 때 -4네요.

완전제곱식이 포함된 이차식의 최대, 최소

x, y가 실수라는 조건이 있는 이차식의 최대, 최소는 실수의 성질을 이용해요. 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 거죠. (실수)² ≥ 0이니까 (실수 x, y를 포함하는 완전제곱식)² ≥ 0이에요.

x, y가 실수일 때, x² + 2x + y² + 6y + 5의 최솟값을 구하여라.

x, y가 실수니까 식을 완전제곱식으로 바꿔보죠.
x² + 2x + y² + 6y + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 1 - 9 + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 5

(x + 1)² ≥ 0이고 (y + 3)² ≥ 0이므로 (x + 1)² + (y + 3)² - 5 ≥ -5이에요. 따라서 답은 -5이네요.

산술, 기하, 조화평균

이외에도 절대부등식 - 산술, 기하, 조화평균에서도 양수인 두 수의 합과 곱 사이의 관계를 통해서 합의 최솟값이나 곱의 최댓값을 구했었죠?

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

이것까지 기억해두세요.

이차함수의 최대, 최소의 활용

이차함수의 활용은 중학교 3학년 때 했던 이차함수의 활용과 달라지지 않아요. 다만, 최대, 최소를 구하는 방법에 앞서 공부한 이차함수의 최댓값과 최솟값이 추가될 뿐이에요.

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. x, y의 범위 구하기
   문제의 조건에 맞는 x, y의 범위를 구한다.
3. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
4. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
5. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

길이가 40cm인 끈으로 직사각형을 만들려고 한다. 직사각형의 넓이가 최대가 될 때의 가로, 세로 길이를 구하여라.

2(가로 길이 + 세로 길이) = 둘레의 길이이므로 직사각형의 가로 길이를 x라고 한다면 세로 길이는 20 - x에요. 넓이를 y라고 해보죠.

가로 길이 x는 길이니까 0보다 커요.

세로 길이도 마찬가지로 0보다 커야 하고요. 20 - x > 0 → x < 20

따라서 x의 범위는 0 < x < 20가 되겠네요.

y = x(20 - x)
y = 20x - x²
y = -x² + 20x
y = -(x² - 20x)
y = -(x - 10)² + 100

이차함수에서 (10, 100)이 x의 범위 0 < x < 20 사이에 있으니까 꼭짓점에서 최댓값을 가져요. 답은 가로 10cm, 세로 10cm네요.

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이제부터는 이차함수에 대해서 본격적으로 시작할 거예요.

이 글에서는 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. x의 범위가 실수 전체일 때와 특정한 범위가 주어졌을 때에 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

이차함수의 그래프를 그리지 않고, 최댓값과 최솟값을 구하는 방법이니까 잘 알아두세요.

이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수 y = a(x - p)² + q의 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라고 해요.

x의 범위가 실수 전체인 이차함수의 최댓값과 최솟값은 a의 부호를 생각하면 쉽게 구할 수 있어요.

이차함수 y = a(x - p)² + q 이차항의 계수 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 꼭짓점이 가장 아래에 있고, 양쪽 옆으로는 끝없이 위로 올라가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 값이 적으니까 꼭짓점에서 함숫값이 최솟값이죠. 그런데 양쪽 옆으로는 값이 커지는데 끝도 없이 커져요. 그래서 최댓값은 구할 수 없어요.

이번에는 a < 0일 때를 생각해보죠.

a < 0이면 그래프는 위로 볼록이에요. 꼭짓점에서 가장 높이 있고, 양쪽 옆으로 가면서 아래로 내려가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 높으니까 이때의 함숫값이 최댓값이에요. 양쪽 옆으로는 값이 계속 작아지는데 어디가 끝인지 모르죠. 그래서 최솟값은 구할 수 없어요.

a > 0이면 x = p일 때 최솟값 q
a < 0이면 x = p일 때 최댓값 q

이제는 조금 다른 게 x의 범위가 실수 전체가 아니라 특정한 범위를 갖는 거예요. 따라서 최댓값과 최솟값을 모두 가져요.

아래는 y = a(x - p)² + q의 그래프인데, x의 범위가 α ≤ x ≤ β에요. y = a(x - p)² + q의 그래프 중에서, α와 β 사이의 부분만 떼서 생각해보죠. 꼭짓점 x = p일 때 최댓값이 q이에요. x = β일 때 f(β)가 최솟값이네요.

이번에는 다른 y = a(x - p)² + q의 그래프를 보죠. 마찬가지로 α ≤ x ≤ β의 범위를 가져요.

a > 0이니까 꼭짓점 x = p일 때 최솟값이어야 하는데, 그래프를 잘 보니 x = p는 α ≤ x ≤ β의 범위에 들어있지 않아요. 따라서 이 경우는 꼭짓점에서 최솟값이 아니죠. 이 그래프에서 최솟값은 x = α일 때 f(α)이고, 최댓값은 x = β일 때 f(β)에요.

어떤 경우든 최대, 최소는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 생겨요. 그래서 세 경우의 값만 구하면 돼요. 세 경우를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 게 최솟값이죠. 대신에 꼭짓점 x = p가 x의 범위인 α ≤ x ≤ β에 들어있는지만 확인하면 되죠.

이차함수의 최대, 최소

• 꼭짓점 x = p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
• 꼭짓점 x = p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값

다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = -(x + 1)² + 3 (-2 ≤ x ≤ 2)
(2) y = 2(x - 1)² - 4 (3 ≤ x ≤ 5)

이차함수는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 꼭짓점의 함숫값과 양쪽 경계의 함숫값을 비교해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠. 단, 꼭짓점이 x의 범위에 포함되지 않는다면 꼭짓점의 함숫값은 빼야 해요.

(1) 번의 x = -1은 x의 범위 -2 ≤ x ≤ 2에 포함되므로 꼭짓점의 함숫값과 양쪽 경곗값의 세 값을 비교해야겠네요.
x = -1일 때, y = 3
x = -2일 때, y = 2
x = 2일 때, y = -6

3이 가장 크고 -6이 가장 작으므로 최댓값은 3, 최솟값은 -6입니다.

(2) 번은 꼭짓점 x = 1은 x의 범위 3 ≤ x ≤ 5에 포함되지 않아요. 따라서 양쪽 경곗값의 크기를 비교해서 최댓값과 최솟값을 구해야 해요.
x = 3일 때, y = 4
x = 5일 때, y = 28

최솟값은 4, 최댓값은 28입니다.

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이차함수의 마지막 이차함수의 활용입니다. 이차함수는 1학기의 마지막 단원이니까 오늘 내용만 하면 1학기 수학이 다 끝나네요.

활용은 모든 단원에서 하지만 원리는 같아요. 구하는 미지수가 뭔지 찾고, 식 세우고, 계산하는 거죠.

이차함수의 활용은 그런 면에서 이차방정식의 활용과 비슷한 유형의 문제가 많이 나와요. 이차방정식의 활용을 열심히 공부했던 학생이라면 어렵지 않게 느껴질 겁니다.

이차함수의 활용

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
3. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
4. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

함수의 활용 문제에서 대부분 변하는 값을 x로 놓아요. 시간이라든가 길이 같은 게 되죠. 그리고 x에 따라 바뀌는 종속적인 값을 y로 놓아요. 시간에 따라 바뀌는 온도, 가로 길이에 따라 바뀌는 넓이 같은 거죠.

이차함수의 활용에서는 최대, 최소를 구하는 문제가 많이 나오거든요. 최대/최소를 직접 구하거나 최댓값, 최솟값을 가질 때 변수의 값을 구하는 문제요. 따라서 일반형이 아닌 표준형을 많이 사용해요.

또 표준형 y = a(x - p)² + q에서 a에 따라서 최댓값, 최솟값 중 하나만 가지니까 a의 부호도 잘 보죠.

두 수의 합을 주고 곱을 구하는 문제

두 수의 합의 관계식을 주고, 곱의 최댓값을 구하거나 곱이 최대일 때 두 수를 구하는 문제 유형이에요.

실제로 두 수를 주는 건 아니고 두 수의 관계식을 주는 거죠. 예를 들어 두 수의 합이 10이다. 두 수의 차가 20이다 이런 식으로요.

한 수를 x라고 놓으면 다른 수는 관계식에서 구할 수 있어요. 두 수의 합이 10일 때, 한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 10 - x가 되는 거지요. x(10 – x)는 두 수의 곱이 되겠죠?

합이 16인 두 수의 곱이 가장 클 때 그때의 두 수와 곱의 최댓값을 구하여라.

한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 16 - x가 되겠죠? 곱은 x(16 - x)가 될 거고요.

y = x(16 - x)
y = 16x - x²
y = -x² + 16x
y = -(x² - 16x)
y = -(x² - 16x + 8² - 8²)
y = -(x - 8)² + 64

x = 8일 때 곱이 최대가 되고 그 때 곱은 64네요. 한 수가 8이니까 다른 한 수는 16 - 8 = 8이겠고요. 답은 두 수는 8, 8, 곱의 최댓값은 64가 되겠습니다.

도형의 둘레, 넓이 문제

자주 나오는 유형 중 하나가 도형의 둘레와 넓이에 관한 문제예요. 이 유형도 위의 유형과 같아요. 도형의 둘레는 가로, 세로 길이의 합이고 도형의 넓이는 가로, 세로 길이의 곱이잖아요.

둘레의 길이가 36cm인 사각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로, 세로 길이를 구하여라.

가로, 세로 길이를 구하라고 했으니까 가로를 x, 세로를 y로 놓으면 될까요? 그렇게 하지 않아요. 가로를 x로 놓으면 가로 x에 따라 바뀌는 넓이를 y로 놓는 거예요.

가로를 x라고 놓으면 세로는 둘레의 길이에서 구할 수 있어요. 둘레는 2 × (가로 + 세로) = 36이니까 세로 길이는 18 - x네요.

직사각형의 넓이는 가로 × 세로니까 y = x (18 - x)라는 함수식을 세울 수 있어요

y = x(18 - x)
y = -x² + 18x
y = -(x² - 18x)
y = -(x² - 18x + 9² - 9²)
y = -(x - 9)² + 81

x = 9일 때 최댓값 81을 가지므로 가로가 9cm일 때 넓이가 최대예요. 가로가 9cm니까 세로는 18 - 9 = 9cm군요.

가로, 세로 길이가 모두 9cm인 정사각형일 때 넓이가 최대네요.

이차함수에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

함수의 최댓값과 최솟값은 바로 y값을 말하는 거지요. 따라서 y의 범위를 구하면 돼요. y의 범위를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠.

일반적으로 x의 범위가 주어지지 않으면 x는 실수 전체라고 생각해요. 범위가 주어졌을 때는 그 범위에 맞게 해야겠지요. 또 범위가 주어지지 않더라도 사람 수나 길이 등은 양수나 자연수라는 것도 잊으면 안돼요.

최대, 최소를 구할 때는 y의 범위를 바로 알 수 있는 이차함수의 표준형을 이용해요. 일반형으로 나와 있으면 표준형으로 고쳐요.y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형

이차함수 최솟값

이차함수의 그래프를 생각해보죠. y = a(x - p)² + q에서 a > 0이라고 해보죠. 그래프는 어떻게 되나요? a > 0이면 그래프는 아래로 볼록인 모양이에요. 아래로 볼록이니까 그래프에서 가장 아래에 있는 곳의 y값은 꼭짓점의 y좌표예요. 꼭짓점의 y좌표는 q잖아요. 따라서 y의 범위가 y ≥ q죠. y는 q보다 크니까 최솟값은 q예요.

그럼 최댓값은 얼마일까요? 그래프를 다시 한 번 보죠. 대칭축을 기준으로 또는 꼭짓점을 기준으로 좌우 양쪽으로 가면 갈수록 y는 커져요. x축의 오른쪽으로 얼마나 갈 수 있을까요? 끝도 없이 가겠죠? 그렇다면 그에 해당하는 y값도 끝도 없이 커질 거예요. x축 왼쪽으로도 마찬가지죠. 무슨 말이냐면 y가 끝을 알 수 없는 값을 가진다는 거예요. 그래서 그 끝을 알 수 없으므로 최댓값이라는 게 존재하지 않는 거죠.

• a > 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최댓값은 구할 수 없다.

이차함수의 최댓값

이번에는 y = a(x - p)² + q에서 a < 0이라고 해볼게요. 그래프는 위로 볼록한 모양이에요. 위로 볼록한 그래프에서 가장 높은 곳에 있는 점은 꼭짓점이죠? y값의 범위가 y ≤ q예요. 최댓값이 q라는 얘기죠.

최솟값은 x축 양쪽으로 가면 갈수록 작아져서 가장 작은 값을 알 수 없어요. 최솟값은 구할 수 없어요.

• a < 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최솟값은 구할 수 없다.

이차함수 y = a(x - p)² + q에서 x의 범위가 주어지지 않으면 이차함수는 최댓값 또는 최솟값 중 하나만
a > 0이면 최솟값만
a < 0이면 최댓값만
최댓값/최솟값은 꼭짓점의 y 좌표. x = p일 때 y = q

x의 범위가 주어졌을 때 최대, 최소

보통 흔한 경우는 아닌데, x의 범위가 주어질 때가 있어요. 문제에서 x의 범위를 따로 주는 건 아니고 사람 수라든가 길이, 개수 이런 식으로 특정한 범위를 가질 수밖에 없는 값들이 주어지요. 예를 들어서 20명의 사람이 있는데, 어쩌고 저쩌고에서는 “0 ≤ x ≤ 20인 자연수”라는 범위를 갖는 거죠

이럴 때도 기본적으로 a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값을 갖는 건 같아요. 이건 바뀌지 않아요. 추가로 x 범위의 경계에서 최대, 최소를 가질 수 있다는 건데요.

a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최댓값을 가져요.
a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최솟값을 가져요.

물론 식에 양쪽 경계의 값을 넣어서 나온 결과를 비교할 수도 있는데요. 간단하게 구하려면 축의 방정식 즉, 꼭짓점의 x좌표에서 더 먼 쪽에서 최대/최소를 가져요.