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이차함수의 그래프와 이차부등식의 관계예요. 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구하는 과정입니다. 이차함수의 그래프와 판별식을 이용해서 이차부등식의 해를 구하는 것으로 결론은 기존에 알고 있던 이차부등식의 해를 구하는 방법과 같으니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 이글을 보고 나면 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용이 훨씬 깔끔하게 정리가 될 거예요.

이차함수, 이차방정식, 이차부등식의 관계를 파악해보고 이들이 좌표평면 위의 그래프에서 어떤 위치를 갖는지도 잘 이해해보세요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프를 이용하여 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 해를 구하는 방법이에요. 사실 굳이 그래프를 그리지 않고도 해를 구할 수 있는데, 그래프를 그리면 좀 더 확실히 이해할 수 있죠.

여기서는 a > 0일 때만 살펴보죠. a < 0이면 양변에 (-1)을 곱해서 a > 0으로 바꿔서 생각하면 되니까요.

a > 0이면 이차함수의 그래프는 아래로 볼록이에요. 판별식 D에 따라 x축과의 교점의 개수가 달라지죠. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서는 교점의 x좌표가 이차방정식의 해였고, 교점의 개수는 해의 개수라고 했어요.

이차부등식에서는 교점의 x좌표가 해를 구하는 경곗값이에요.

표의 그래프를 잘 보세요.

D > 0일 때, y = ax² + bx + c의 그래프는 x축과 두 점 α, β에서 만나요. x = α일 때와 x = β일 때, ax² + bx + c = 0이 되어 그래프는 x축과 만나죠. 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 좌변은 0보다 크니까 그래프에서 x축(y = 0)보다 위에 있는 구간을 찾아야 해요. x축보다 위에 있는 구간은 x < α일 때와 x > β일 때에요. 따라서 ax² + bx + c > 0의 해는 x < α or x > β입니다.

D = 0일 때 그래프는 x축과 한 점에서 만나요. 이 점을 α라고 해보죠. ax² + bx + c > 0은 x축보다 위에 있는 구간을 해로 갖는데, x축과 만나는 한 점 x = α를 빼고는 모두 x축보다 위에 있어요. 따라서 해는 x ≠ α인 모든 실수예요.

D < 0일 때 그래프는 x축과 만나지 않아요. 따라서 모든 구간에서 그래프가 x축보다 위에 있으니까 해는 모든 실수예요.

ax² + bx + c < 0의 해는 x축보다 아래에 있는 구간을 찾으면 되겠죠? D > 0일 때는 α < x < β, D = 0일 때와 D < 0일 때는 해가 없어요.

이차방정식에서는 복소수에서 해를 구했으니까 허근을 근으로 봤지만, 이차부등식에서는 실수 범위에서만 해를 구해요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해 (a > 0, α ≤ β)

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프
ax2 + bx + c = 0의 해	x = α or x = β 서로 다른 두 실근	x = α 중근	실수인 해는 없다. 서로 다른 두 허근
ax2 + bx + c > 0	x < α or x > β	x ≠ α인 모든 실수	모든 실수
ax2 + bx + c ≥ 0	x ≤ α or x ≥ β	모든 실수	모든 실수
ax2 + bx + c < 0	α < x < β	해는 없다.	해는 없다.
ax2 + bx + c ≤ 0	α ≤ x ≤ β	x = α	해는 없다.

이 내용은 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용과 같아요. 그때는 식을 이용해서 해를 구했다면 이번에는 이차함수의 그래프를 이용해서 해를 구했다는 차이가 있을 뿐이죠.

이차부등식의 해를 구하는 게 생각나지 않을 때는 이차함수의 그래프를 그리고 x축과의 관계를 보고 해를 구할 수 있어요.

이차부등식 x² + (k + 1) x + 4 > 0의 해가 모든 실수일 때 실수 k의 범위를 구하여라.

x² + (k + 1)x + 4 >0 0의 해가 모든 실수라는 말은 항상 성립한다는 얘기예요.

문제에서 이차부등식의 부등호에 등호가 포함되어 있지 않고 최고차항이 양수이므로 아래로 볼록이에요. 이런 꼴의 이차부등식이 모든 실수를 해로 가지려면 그래프가 x축보다 항상 위에 있는 경우로 위 표에서 제일 오른쪽 그림이 되겠죠. 따라서 D < 0이어야 합니다.

(k + 1)² - 4 × 1 × 4 < 0
k² + 2k + 1 - 16 < 0
k² + 2k - 15 < 0
(k - 3)(k + 5) < 0

-5 < k < 3

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이차방정식의 해를 구할 때 어떻게 했나요? 인수분해를 하고, 인수를 0으로 만드는 수를 근 α, β라고 했었죠? 이 과정을 거꾸로 해서 두 근 α, β를 알려주고 이차방정식을 구하는 걸 두 수를 근으로 하는 이차방정식에서 해봤어요.

여기서도 마찬가지로 이차부등식, 이차부등식의 해에서는 식을 주고 해를 구하는 거였는데, 이번에는 해를 알려주고 이차부등식을 구하는 거예요.

기존에 공부했던 내용을 거꾸로만 하면 되니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억한다면 어렵지 않은 내용이에요.

이차부등식의 작성

이차부등식, 이차부등식의 해에서 부등식에 따라 해를 어떻게 구했는지 정리해볼까요?

a > 0, α < β일 때
a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이 글에서는 위 내용에서 화살표를 거꾸로 갈 거예요.

해가 어떤 모양으로 생겼는지 그리고 부등호에 등호가 포함되었는지를 잘 봐야 해요. 편의상 위에서부터 1번이라고 부를게요.

a > 0이고, α < β일 때

1. x < α or x > β → a(x - α)(x - β) > 0
2. x ≤ α or x ≥ β → a(x - α)(x - β) ≥ 0
3. α < x < β → a(x - α)(x - β) < 0
4. α ≤ x ≤ β → a(x - α)(x - β) ≤ 0

해가 -2 < x < 4이고 이차항의 계수가 2인 이차부등식을 구하여라.

해의 모양이 두 수 사이이고, 이차항의 계수가 2네요. 그리고 부등호에 등호가 없으니까 (3) a(x - α)(x - β) < 0의 형태겠네요. 이때 α = -2, β = 4, a = 2에요.

2(x + 2)(x - 4) < 0
2(x² - 2x - 8) < 0
2x² - 4x - 16 < 0

해가 x ≤ 3 또는 x ≥ 6이고, 이차항의 계수가 -2인 이차부등식을 구하여라.

이번에는 해의 모양이 작은 수보다 작거나 같고 큰 수보다 크거나 같아요. 등호도 포함되어 있죠. 그러니까 (2) a(x - α)(x - β) ≥ 0의 형태겠네요. α = 3, β = 6, a = -2예요.

-2(x - 3)(x - 6) ≥ 0
-2(x² - 9x + 18) ≥ 0
-2x² + 18x - 36 ≥ 0

이게 답일까요? 여기서 주의해야 할게 a의 부호예요. 위의 개념정리에서 사용했던 공식에서는 a > 0인데, 문제에서는 a = -2로 음수에요. 그러니까 모양이 조금 달라져야 합니다.

이때는 어떻게 하냐면 일단 이차항의 계수를 생략하고 식을 세워요.

(x - 3)(x - 6) ≥ 0

그다음에 양변에 이차항의 계수인 -2를 곱해주는 거예요. 부등식의 성질에 의해 음수를 곱하니까 부등호의 방향이 바뀌어야겠죠?

-2(x - 3)(x - 6) ≤ 0
-2(x² - 9x + 18) ≤ 0
-2x² + 18x - 36 ≤ 0

이차항의 계수가 음수라서 풀이도 약간 다르고, 모양도 공식과 달라요. 주의하세요.

이차부등식 x² + (a + 1)x + 3b > 0의 해가 x < -2 또는 x > 3일 때, a + b의 값을 구하여라.

이차방정식의 해가 x < -2 또는 x > 3이고 이차항의 계수가 1, 등호가 없으니까 (1) a(x - α)(x - β) > 0꼴이네요.

(x + 2)(x - 3) > 0
x² - x - 6 > 0

a + 1 = -1
a = -2

3b = -6
b = -2

a + b = - 2 + (-2) = -4

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이차부등식의 해를 구할 때 판별식을 보면 해를 구할 수 있어요. 물론 해를 바로 구할 수 있는 경우도 있고, 아닌 경우도 있지만 판별식을 보면 대충 감이 오죠.

판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b² - 4ac에요.

이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠.

판별식과 이차부등식의 해

판별식 D > 0일 때

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0) 에서 좌변만 보죠. D > 0이면 두 근을 가져요. 이 근을 α, β (α < β)라고 하면, a(x - α)(x - β)로 인수분해가 돼요.

ax² + bx + c = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식에서 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax² + bx + c > 0
a(x - α)(x - β) > 0

이차부등식, 이차부등식의 해에서 봤던 꼴이죠? 이때는 해가 어떻게 된다고 했나요?

a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

판별식 D = 0일 때

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0) 에서 판별식 D = 0이면 완전제곱식이 되고, 중근을 가져요. 이때의 해를 α라고 해보죠.

ax² + bx + c = 0
a(x - α)² = 0

이번에도 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax² + bx + c > 0
a(x - α)² > 0

어떤 실수의 제곱은 0보다 크거나 같아요. x = α이면 좌변은 0이 돼서 부등식이 성립하지 않아요. x ≠ α일 때는 부등식이 성립하죠. 따라서 이때의 해는 x ≠ α인 모든 실수가 되겠죠?

ax² + bx + c ≥ 0
a(x - α)² ≥ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 물론 x ≠ α일 때도 성립하죠. 따라서 해는 모든 실수가 됩니다.

ax² + bx + c < 0
a(x - α)² < 0

좌변은 실수의 제곱과 양수 a의 곱이므로 0보다 크거나 같아요. 따라서 해는 없어요.

ax² + bx + c ≤ 0
a(x - α)² ≤ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 그 외에는 성립하지 않죠. 따라서 해는 x = α에요.

판별식 D < 0일 때

D < 0이면 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않아요. 그래서 조금 다른 방법으로 해를 구해야 해요.

중학교 때 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하는 걸 해봤어요. 이걸 이용해보죠.

정리해보면, 예요.

앞에 있는 항은 제곱이니까 이고, D < 0이므로 에요. 따라서 이차식 ax² + bx + c (a > 0)은 모든 x에 대하여 항상 양수예요.

ax² + bx + c > 0과 ax² + bx + c ≥ 0은 항상 성립하므로 해는 모든 실수이고, ax² + bx + c < 0과 ax² + bx + c ≤ 0은 해가 없지요.

판별식과 이차부등식의 해

설명이 길었는데, 정리해보면 아래 표로 간단히 나타낼 수 있어요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 4x + 4 > 0
(2) x² - 4x + 4 ≤ 0

(1) 좌변을 인수분해 해보죠.
x² - 4x + 4 > 0
(x - 2)² > 0

좌변이 완전제곱식으로 인수분해가 됐으니 D = 0이네요. 판별식을 따로 구해보지 않아도 알 수 있죠? 이때는 x = 2이면 좌변이 0이 되어서 성립하지 않지만 x ≠ 2이면 부등식이 성립하죠? 따라서 해는 x ≠ 2인 모든 실수가 됩니다.

(2) x² - 4x + 4 ≤ 0
(x - 2)² ≤ 0

x = 2일 때는 좌변이 0이므로 식이 성립하지만, 그 외에는 좌변 > 0이므로 식이 성립하지 않아요. 따라서 해는 x = 2네요.

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일차방정식을 공부하고 나면 이차방정식을 공부했어요. 일차함수를 공부하고 나면 이차함수를 공부했고요. 일차부등식을 공부했지요? 그러니까 이제는 이차부등식을 공부할 차례예요.

이차부등식의 풀이는 일차부등식의 풀이와 많이 달라요. 오히려 이차방정식과 관련된 내용이 많이 나옵니다. 이차방정식에서 등호만 부등호로 바뀐 게 이차부등식이니까요. 앞서 공부했던 이차방정식의 여러 가지 특징을 잘 기억하세요.

이차부등식이 무엇인지 이차부등식의 해는 어떻게 구하는지 알아보죠.

이차부등식, 이차부등식의 해

모든 항을 좌변으로 이항했을 때 좌변의 최고차항이 이차인 부등식을 이차부등식이라고 해요. ax² + bx + c > 0으로 표시하죠. 이때 이차부등식이 되려면 a ≠ 0이어야 해요. 물론 부등호는 >, ≥ < ≤ 총 네 가지가 있고요.

이차방정식의 해를 구할 때 인수분해를 했었죠? 이차부등식의 해를 구할 때도 인수분해를 합니다.

1. 모든 항을 좌변으로 이항
2. 동류항 정리
3. 인수분해

일단 먼저 인수분해를 하세요. 다음 단계는 조금 복잡하니까 잘 보시고요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) > 0

이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) > 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. (x - α)와 (x - β)라는 두 식을 곱해서 양수가 되려면 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 해요.

• 둘 다 양수일 때, x - α > 0 and x - β > 0
  • x - α > 0
    x > α
  • x - β > 0
    x > β
  α < β 이므로 x > β
• 둘 다 음수일 때, x - α < 0 and x - β < 0
  • x - α < 0
    x < α
  • x - β < 0
    x < β
  α < β 이므로 x < α

α < β일 때,
(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β

이차식이 0보다 클 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)보다 작거나 큰 수(β)보다 큰 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) < 0

이번에는 이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) < 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. 두 식을 곱해서 음수가 되려면 두 식의 부호가 서로 반대여야 하죠.

• x - α > 0 and x - β < 0 일 때
  • x - α > 0
    x > α
  • x - β < 0
    x < β
  α < β 이므로 α < x < β
• x - α < 0 and x - β > 0 일 때
  • x - α < 0
    x < α
  • x - β > 0
    x > β
  α < β이므로 해 없음.

α < β일 때,
(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이차식이 0보다 작을 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)와 큰 수(β) 사이의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차항의 계수가 1일 때를 살펴봤는데요. 1이 아닐 때는 인수분해에만 영향을 미치지 해를 구하는 과정은 위와 똑같아요.

다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 3x + 2 < 0
(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0

이차부등식의 해를 구하려면 일단 인수분해를 하죠. 그리고 각 항을 0으로 만드는 두 수를 구하고요.

(1) x² - 3x + 2 < 0
(x - 1)(x - 2) < 0

이차식이 0보다 작으니까 좌변을 0으로 만드는 두 수에서 작은 것과 큰 것 사이의 해를 가져요. 이차식을 0이 되게 하는 수는 1과 2이므로 해는 1 < x < 2가 됩니다.

(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0
2(x² + 3x - 10) ≥ 0
2(x - 2)(x + 5) ≥ 0

앞에 있는 2는 양수라서 식의 부호에 영향을 미치지 않죠? 이차식이 0이 되는 수는 2, -5이고 이차식이 0보다 크네요. 이때는 작은 수보다 작고, 큰 수보다 큰 해를 가지므로 x ≤ -5 또는 x ≥ 2가 해입니다.

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