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평행선 사이의 선분의 길이의 비는 새로운 내용이 아니고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2를 합친 거예요.

삼각형을 먼저 그려놓고 평행선을 그렸었잖아요. 이번에는 평행선을 먼저 그려놓고 삼각형을 나중에 그리는 것만 달라요.

따라서 두 글의 내용을 제대로 이해하고 있지 않다면 아래 내용을 전혀 알 수 없어요. 이 글을 읽기 전에 두 글을 먼저 읽고 오세요.

두 글의 내용을 다 이해하고 있다면 그리 어렵지 않으니까 추가적인 증명은 최대한 줄이도록 할게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

선분 l, m, n이 서로 평행해요. 평형한 세 선분을 지나는 두 직선이 있을 때, 두 직선과 평행한 세 선분이 만나면 위 그림처럼 총 네 개의 길이가 생겨요. 네 변의 길이에는 위와 같은 비례식이 성립합니다.

물론 그림으로 외워야겠죠?

특히 오른쪽 그림에서 비례식을 세우기가 어려워하는 경우가 많은데, 한 가지만 기억하면 비례식을 쉽게 세울 수 있어요. 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요. ①, ②가 한 직선 위에 있으니까 이 둘이 한 변에 오도록 ① : ②를 좌변으로, ③, ④가 한 직선 위에 있으니까 ③ : ④를 우변으로 만들면 돼요.

증명은 어렵지 않아요.

여러 가지 할 필요없이 그냥 각 그림에서 오른쪽에 있는 직선을 왼쪽으로 옮겨서 두 직선이 평행선 위의 한 점에서 만나게 하면 돼요.

왼쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에서, 오른쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠? 따로 설명하지는 않을게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비 두 번째

이번에는 평행선을 잘 연결해서 삼각형을 만들었을 때에요.

뭔가 그림이 참 복잡한데 세로로 그어진 세 직선이 평행이에요. 그리고 그 중간에 여러 선을 그어서 삼각형을 만든 거죠. 색깔에 유의해서 보세요

여기서도 마찬가지로 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요.

그림에서 필요한 부분만 떼서 보죠.

△ABE와 △CDE를 보세요. 두 삼각형은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1의 그림을 옆으로 눕혀놓은 거예요. 두 삼각형은 닮은 도형이므로 길이의 비가 같아요. 각 선의 색으로 구별할 수 있어요.

또 필요한 부분만 떼왔어요. 이 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에 나오는 그림이죠? 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있죠?

위 두 비례식에 가 공통으로 들어있으니까 이걸 이용하면 아래 비례식을 만들 수 있어요.

다음 그림에서 변 EF의 길이를 구하여라.

위 내용정리에서 변EF에 관한 내용은 없어요. 하지만 EF를 뺀 나머지 변의 길이의 비는 모두 구할 수 있죠? 6 : 12 = 1 : 2요.

이 1 : 2라는 비와 △ABC와 △EFC가 닮음이라는 것을 이용하면 EF의 길이를 구할 수 있어요.

에요. 따라서 가 되는 거죠. 3 : 2는 두 삼각형 △ABC와 △EFC의 닮음비에요. 이 닮음비는 모든 대응변에서 같아요.

함께 보면 좋은 글

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2
닮은 도형, 도형의 닮음

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 두 번째입니다. 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서는 평행선을 그었을 때 생기는 새로운 삼각형과 원래 삼각형이 닮았다는 걸 중심으로 해서 각 길이의 관계를 알아봤는데요.

이 글에서는 새로운 삼각형과의 관계가 아니라 다른 내용의 길이의 비에 관한 내용이에요.

두 내용에 차이가 있으니까 잘 구별하세요.

이 글의 내용도 마찬가지로 공식으로 외우기보다는 그림으로 외워야 합니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2

△ABC에서 밑변에 평행한 선을 그어요. 그러면 두 부분으로 나뉘죠? 보라색 변의 길이 비는 파란색 변의 길이 비와 같아요.

증명해볼까요?

△ABC에서 와 평행한 선을 그어서 와 만나는 점을 점 D, 와 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 와 평행하고, 점 E를 지나는 선을 그어요. 와 만나는 점을 점 F라고 하면 △EFC가 생기죠? 이 삼각형과 △ADE의 관계를 알아봐요.

∠ADE = ∠ABC = ∠EFC (평행선에서 동위각)

∠AED = ∠ECF (평행선에서 동위각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE ∽ △EFC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이니까 길이의 비에 관한 식을 세울 수 있어요. 

□DBFE는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

6 : 3 = 8 : x이므로
x = 4 (cm)

이번에는 △ABC에서 밑변의 평행선을 꼭짓점보다 더 위에 그렸을 때에요. 삼각형 한 변의 길이와 연장선 길이의 비 사이의 관계죠. 이 그림에서도 마찬가지로 파란색 선과 보라색 선 사이에 길이의 비가 성립해요.

증명해 볼까요?

△ABC에서 점 A위에 와 평행한 선을 그어서 의 연장선과 만나는 점을 점 D, 의 연장선과 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 점 D를 지나고 에 평행한 선을 긋고, 의 연장선과 만나는 점을 점 F라고 해보죠. △ADE와 △DBF의 관계를 알아볼 거예요.

∠ADE = ∠DBF (평행선에서 엇각)
∠AED = ∠DFB (평행사변형에서 대각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE와 △DBF는 AA 닮음이에요. △ADE ∽ △DBF

변의 길이를 이용해서 비례식을 세워보죠.

□EDFC는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 한 변의 길이와 그 연장선 사이의 비가 같으므로,

x : 12 = 6 : 9
x = 8 (cm)

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