구
구의 부피와 구의 겉넓이
이 글에서 공부할 내용은 구의 부피와 구의 겉넓이입니다.
구의 부피와 구의 겉넓이
구는 축구공, 배구공처럼 둥근 공 모양을 구하고 하지요? 구는 밑면, 옆면 구분이 없어요. 그래서 전개도로 펼쳐서 구하지 않아요.
구의 부피부터 구해보죠.
원뿔의 부피는 원기둥의 부피의 
원기둥의 부피의
원기둥의 부피 공식에서 높이에는 2r을 넣어주고,
πr2h →
= 
구의 겉넓이는 구의 부피와 각뿔의 부피를 이용해서 구하는데, 그 과정이 조금 어려워요. 공식 구하는 과정은 고등학교 올라가면 자연스럽게 알게 될 거니가 여기서는 그냥 결과만 얘기할게요.
구의 겉넓이는 4πr2입니다.
구의 반지름이 r일 때
구의 부피 =
구의 겉넓이 = 4πr2
잘 보세요. 구의 부피는 마지막이 r의 세제곱이고, 구의 겉넓이는 r의 제곱이에요. 착각하지 마세요.
반지름이 6cm인 반구가 있다. 이 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라.
반구는 구가 반으로 잘린 걸 말해요.
먼저 부피를 구해보죠. 반구는 원래 구의 반이니까 부피도 절반이겠죠?
반구의 부피 = 구의 부피 ÷ 2
=
=
= 144π(cm3)
반구의 겉넓이는 구의 겉넓이의 절반이에요. 그런데 반구에서 잘린 면이 있지요? 이 면의 넓이를 더해줘야 해요. 이 잘린 면은 원이네요.
반구의 겉넓이는 = 구의 겉넓이 ÷ 2 + 잘린 면의 넓이
= 4πr2 ÷ 2 + πr2
= 4π62 ÷ 2 + π62
= 72π + 36π
= 108π(cm2)
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회전체와 원뿔대, 회전체의 성질
입체도형에서 다면체를 공부했어요. 입체도형은 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 하나는 다면체고, 다른 하나는 이 글에서 다룰 회전체에요.
회전체와 다면체를 정확하게 구별할 줄 알아야 해요. 다면체는 밑면을 포함하여 모든 면이 다각형이고 회전체는 밑면이 곡선을 포함하고 있으니까 이거 하나면 알아도 회전체와 다면체를 구별할 수 있을 거예요.
회전체는 한 직선을 축으로 하여 평면도형을 1회전 시킬 때 생기는 입체도형을 말해요.
회전체에서 축이 되는 한 직선을 회전축이라고 하고, 회전체에서 회전하여 옆면을 이루는 선분을 모선이라고 합니다.
회전체는 우리가 잘 아는 원기둥, 원뿔, 구가 있어요. 그리고 원뿔대라는 것도 있고요.
원기둥은 직사각형을, 원뿔은 직각삼각형을 구는 반원을 회전해서 생기는 입체도형이에요.
각뿔대는 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 도형 중에 아랫부분을 말하죠? 원뿔대는 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 걸 말해요.
회전체의 성질
회전체에는 중요한 성질이 있어요.
첫 번째는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원이에요. 회전축에 수직인 평면이니까 가로로 자르는 거겠죠?
두 번째는 회전체를 회전축을 포함하는 단면으로 잘라도 그 단면은 모두 합동이고 회전축에 대해서 선대칭도형이에요.
이렇게 회전축을 포함하는 평면으로 세로로 자르면 회전체에 따라 그 단면이 달라요. 원기둥을 자르면 직사각형이 돼요. 원기둥은 어디를 잘라도 직사각형이 되는데 이 직사각형들이 모두 합동이라는 거죠. 원뿔은 단면이 이등변삼각형, 원뿔대는 사다리꼴이고요. 구는 원이에요.
그리고 선대칭이라는 말 알죠? 어떤 직선을 중심으로 해서 접으면 양쪽이 완전히 겹치는 걸 선대칭이라고 해요. 회전축을 포함하는 평면으로 세로로 자르면 원기둥의 단면은 직사각형이 된다고 했어요. 이 직사각형이 바로 선대칭도형이에요.
위에는 평면도형이 회전축에 딱 붙어서 생기는 회전체에요. 그런데 회전축과 평면도형이 떨어져 있는 상태에서 회전하면 어떤 도형이 생길까요? 두루마리 화장지처럼 가운데가 뻥 뚫린 회전체가 생길 거예요.
이런 회전체에서는 앞에서 설명한 회전체의 성질이 성립하지 않으니까 주의하세요.
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