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삼각함수는 기본적으로 sin, cos, tan의 세 가지예요. 거기에 각도 기본적인 θ에 -θ, 2nπ ± θ, π ± θ, ± θ로 7가지가 더 있어요. 그래서 기본 삼각함수 3개에 삼각함수 각의 변환 21개까지 총 24가지가 있어요.

물론 각의 변환 21가지를 다 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 하지만 외우기에는 개수도 너무 많고 헷갈리죠. 그래서 이걸 한 번에 총정리하는 시간이 필요합니다. 특히 이 모든 걸 한 방에(?) 해결할 수 있는 공식이 있으니까 꼭 외웠다가 상황에 맞게 적용하세요.

삼각함수 각의 변환 총정리

삼각함수 각의 변환은 앞서 했던 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ, 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 그 이유와 결과를 공부했어요.

하지만 과정이 조금 복잡하고 개수도 많고 비슷비슷해서 헷갈리기가 쉽죠. 이 모든 경우에 한번에 적용할 수 있는 공식(?)이 있어요. 물론 공식을 안다고 해서 계산이 쉬워지는 건 아니지만 변환 과정은 조금 쉬워질 겁니다.

앞서 공부했던 내용들을 이용해서 이 과정이 나오게 된 이유를 생각해보는 것도 좋을 것 같아요.

1. 나오는 각을 + θ 또는 90°n + θ로 바꾼다.
   이때, n은 정수, 0 < θ <  또는 0 < θ < 90°
2. • n이 짝수이면 바꾸지 않는다.
     • sin → sin
     • cos → cos
     • tan → tan
   • n이 홀수이면 바뀐다.
     • sin → cos
     • cos → sin
     • tan →
3. + θ 또는 90°n + θ가 몇 사분면의 각이냐에 따라 +, -를 붙인다.
   올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)

다음을 구하여라.
(1) sin120° × cos150° × tan210°
(2) sinθ = , cosθ = , tanθ = 일 때,
       (단, 0 < θ < )

(1) 삼각함수별로 따로 나눠서 생각해보죠.

sin120° = sin(90° × 1 + 30°)
n = 1로 홀수니까 sin → cos, 120°는 제 2 사분면의 각으로 sin은 (+)부호를 가져요.
sin120° = sin(90° × 1 + 30°) = cos30° = 

cos150° = cos(90° × 1 + 60°)
n = 1로 홀수이므로 cos → sin, 150°는 제 2 사분면의 각으로 cos은 (-) 부호를 가져요.
cos150° = cos(90° × 1 + 60°) = -sin60° = -

tan210° = tan(90° × 2 + 30°)
n = 2로 짝수니까 tan → tan, 210°는 제 3 사분면의 각으로 tan는 (+) 부호를 가져요.
tan210° = tan(90° × 2 + 30°) = tan30° =

sin120° × cos150° × tan210° =

(2)도 따로 나눠서 보죠.

n = 1로 홀수니까 sin → cos,  + θ는 제 2 사분면의 각으로 sin은 (+) 부호를 가져요.

n = 2로 짝수니까 cos → cos, π + θ는 제 3 사분면의 각으로 cos은 (-) 부호를 가져요.

n = 3으로 홀수니까 tan → ,  + θ는 제 4 사분면의 각으로 tan는 (-) 부호를 가져요.

하나로 다 모으면

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삼각함수의 각의 변환 두 번째예요. 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서는 θ가 2nπ + θ일 때와 -θ일 때를 공부해봤는데요. 이 글에서는 θ가 π ± θ일 때와 일 때를 공부할 거예요.

삼각함수는 기본적으로 sin, cos, tan의 세 가지인데, 거기에 π ± θ와 로 네 개의 각이 나오죠? 그러니까 총 12가지 변환하는 내용이 나와요. 게다가 θ, -θ에 관한 내용도 있어서 양도 많고 상당히 헷갈리는 내용이니까 그림과 설명을 하나씩 잘 짚어가면서 공부해야 해요.

삼각함수 각의 변환

π ± θ의 삼각함수

θ와 π + θ의 삼각함수를 비교해보죠.

그림을 보면 알 수 있겠지만 θ를 나타내는 동경과 π+ θ를 나타내는 동경은 서로 원점에 대하여 대칭이에요. 점 P의 좌표를 (x, y)라고 하고 점 P'의 좌표를 (x', y')라고 한다면 점 P와 점 P'는 원점에 대하여 대칭이므로 부호가 서로 반대예요.

x' = -x
y' = -y

다른 방법으로 생각해보죠. 원점에 대하여 대칭이면 제 1 사분면의 각은 제 3 사분면의 각이 되고, 제 2 사분면의 각은 제 4 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 3 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 4 사분면

올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 에서 tan 함수는 제 1, 3 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 4 사분면의 부호는 (-)로 같아요. tan은 원점에 대하여 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 π + θ가 되어도 tan의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 cos는 원점에 대하여 대칭이 아니기 때문에 θ가 π + θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(π + θ) = -sinθ
• cos(π + θ) = -cosθ
• tan(π + θ) = tanθ

이번에는 π - θ의 삼각함수를 알아보죠. 위의 π + θ에서 θ를 -θ로 바뀌기만 하면 돼요.

sin(π - θ) = sin{π + (-θ)} = -sin(-θ) = sin(θ)
cos(π - θ) = cos{π + (-θ)} = -cos(-θ) = -cos(θ)
tan(π - θ) = tan{π + (-θ)} = tan(-θ) = -tan(θ)

의 삼각함수

이번에는 의 삼각함수를 알아보죠.

앞서 했던 여러 삼각함수에서는 대칭이동이었는데, 이번에는 대칭이동이 아니에요.

점 P의 좌표를 (x, y)라고 하고 점 P'의 좌표를 (x', y') 한다면 이 둘 사이에는 어떤 관계가 생길까요? x' = -y, y' = x의 관계가 성립해요. 이 관계가 어떻게 나오는지 잘 이해하셔야 해요.

x' = -y
y' = x

이번에는 의 삼각함수를 알아보죠. 위의 에서 θ를 -θ로 바뀌기만 하면 돼요.

지금까지 삼각함수의 각의 변환을 공부해봤는데, sin, cos, tan 세 가지에다 부호까지 엄청나게 헷갈리죠? 물론 이걸 다 외우면 좋겠지요. 하지만 너무 헷갈려서 외우기가 어렵다면 굳이 외울 필요는 없어요.

이걸 쉽게 변환하는 방법은 삼각함수 각의 변환 총정리에서 다뤄보기로 하죠.

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삼각함수 각의 변환 첫 번째예요. 여기서는 삼각함수에 사용되는 각이 일반각일 때와 사용된 각의 부호가 반대로 되었을 때 삼각함수의 값이 어떻게 바뀌는지를 알아볼 거예요. 또 이 두가지를 합쳤을 때의 삼각함수 값도 알아볼 거고요.

일반각을 호도법으로 표시하는 방법에 대해서 알고 있어야해요. 그리고 삼각함수를 구할 때 사용했던 그림있죠? 좌표평면 위에 원을 그리고 한 점에서 수선을 내렸던 그림도 잘 알고 있어야해요. 이 두 가지만 알고 있으면 이번 내용은 별로 어렵지 않을 거예요.

계산 문제가 살짝 어려울 수 있는데, 이때는 그림을 그려서 풀면 조금 더 쉬울 거예요.

삼각함수 각의 변환

일반각의 삼각함수, 2nπ + θ

삼각함수 sinθ, cosθ, tanθ의 각에서 θ는 0 ≤ θ < 2nπ의 범위를 가져요. 그런데 같은 동경에 위치한 θ라 하더라도 각이 다를 수 있어요. 우리는 이걸 호도법, 라디안(radian)에서 일반각으로 표현하는 걸 공부했었지요. 2nπ + θ (n은 정수, 0 ≤ θ < 2nπ)

각의 크기는 다르더라도 동경의 위치가 같으니까 x, y, r의 값이 같고 이들의 삼각함수 값도 같아요.

• sinθ = sin(2nπ + θ)
• cosθ = cos(2nπ + θ)
• tanθ = tan(2nπ + θ)

-θ의 삼각함수

이번에는 θ의 부호가 반대일 때를 보죠. 부호가 반대라는 건 시초선으로 부터 동경이 움직이는 방향이 반대라는 뜻으로 그림으로 나타내면 다음처럼 돼요.

-θ일 때는 점 P'(x', y')을 이용해서 삼각함수를 구해야겠네요. 점 P와 점 P'는 x축 대칭이므로 y의 부호가 반대예요. x와 r은 그대로이고요.

x' = x
y' = -y

θ가 -θ로 바뀌면 sin과 tan는 부호가 반대로 바뀌지만 cos은 부호가 바뀌지 않는 걸 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해볼까요? θ와 -θ는 x축 대칭이에요. θ가 제 1 사분면의 각이라면 -θ는 제 4 사분면의 각이 되고, θ가 제 2 사분면의 각이라면 -θ는 제 3 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 4 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 3 사분면

삼각함수 값의 부호에서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 있었죠? 여기에서 cos 함수는 제 1, 4 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 3 사분면의 부호는 (-)로 같아요. cos은 x축에 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 -θ가 되어도 cos의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 tan는 x축 대칭이 아니기 때문에 θ가 -θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ

2nπ - θ의 삼각함수

위에서 했던 2nπ + θ(n은 정수)와 -θ의 삼각함수 이 두 가지를 합쳐보면 2nπ - θ의 삼각함수를 구할 수 있어요. 2nπ - θ는 -θ와 동경의 위치가 같아요. 따라서 삼각함수 값도 같지요.

sin(2nπ - θ) = sin{2nπ + (-θ)} = sin(-θ) = -sinθ
cos(2nπ - θ) = cos{2nπ + (-θ)} = cos(-θ) = cosθ
tan(2nπ - θ) = tan{2nπ + (-θ)} = tan(-θ) = -tanθ

다음 삼각함수의 값을 구하여라.

예제에 있는 각이 2π보다 크니까 일단 일반각으로 나타내야겠네요.

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