여러가지 수열의 합, 시그마(∑)

등차수열의 합, 등비수열의 합에 이어 여러 가지 수열의 합이에요. 여기서는 시그마(∑)라는 새로운 기호와 표현법을 공부할 거예요. 시그마가 나타내는 것과 시그마와 관련된 숫자, 문자의 위치가 어디인지 잘 알아두세요. 물론 그 위치에 있는 문자와 숫자가 어떤 의미인지도 잘 알아야 하고요.

처음 보는 이상하게 생긴 기호라 많이 낯설 거예요. 새로운 기호를 공부하므로 기호를 식으로 식을 기호로 바꾸는 연습이 필요합니다. 어렵지는 않으니까 금방 할 수 있을 거예요.

여러 가지 수열의 합

이제까지 수열을 a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_{n - 1}, a_n으로 표현했어요. 그리고 이 수열의 합 S_n은 공식을 이용해서 구했고요. 그런데 등차수열의 합, 등비수열의 합은 제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요. 물론 공식을 잘 활용하면 다른 범위의 수열의 합을 구할 수도 있긴 있죠.

이제부터는 수열의 합을 표현하는 다른 방법을 알아보죠.

예를 들어 "제1항부터 제n항까지의 합을 구하라." 이 말을 간단하게 식으로 나타낼 수 있으면 편하겠죠? 이처럼 말로 길게 써야 하는 수열의 합을 쉽게 나타내는 방법이 있어요.

모양이 좀 이상하게 생겼죠? 저기 가운데 뾰족하게 생긴 걸 "시그마"라고 읽어요. 합이니까 영어로는 sum인데, 첫 글자 s에 해당하는 그리스 문자가 바로 시그마(∑)예요.

시그마를 제외한 나머지 자리에 번호를 붙여봤어요. 번호에 해당하는 내용이 어떤 건지 알아보죠.

①에는 문자가 들어가요. 문자는 k, i 등 어떤 거라도 상관없어요. 다만, 대게 n은 항의 순서를 나타내는 문자라서 n은 잘 사용하지 않아요.

②는 수열의 합을 구할 시작 항의 번호를 써요. 제1항부터 합을 구하려면 1, 제2항부터 합을 구하려면 2를 써요.

③은 수열의 합을 구할 마지막 항의 번호를 써요. 제100항까지 합을 구하려면 100, 제n항까지 합을 구하려면 n을 써요.

④는 수열의 일반항을 써요. 수열의 일반항에서는 n을 이용해서 a_n = (n에 대한 식)의 꼴이었죠? 여기서는 n이 아니어도 상관없는데 반드시 ①에서 사용했던 문자에 대한 식이어야 해요. ①이 k였다면 k에 대한 식, i였다면 i에 대한 식이어야 해요.

n은 항의 순서를 나타내니까 일반항을 나타내는 식에서는 n이라는 문자 대신 k라는 문자를 나타냈어요.

읽을 때는 "시그마 k가 1부터 n까지일 때, a_k" 또는 "k가 1부터 n까지일 때, a_k의 합"이라고 읽어요.

"일반항이 a_n인 수열의 제5항부터 제10항까지의 합을 구하여라."를 간단히 아래처럼 나타낼 수 있겠죠?

다음을 ∑를 사용하여 나타내어라.
(1) 1 + 2 + 3 +  4 + … + 99 + 100
(2) 4 + 7 + 10 + … + 79 + 82

(1)은 자연수네요. 이 수열의 일반항은 a_n = n이에요. 1은 제1항이고 100은 제100항이죠? 그러니까 일반항이 n인 수열의 제1항부터 제100항까지 더하는 거네요.

(2)의 일반항을 구해보죠. d = a₂ - a₁ = 3, a₁ = 4이므로 a_n = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

마지막 항이 82인데, 이게 몇 번째 항인지 알아야겠죠?
3n + 1 = 82
n = 27

일반항이 3n + 1인 수열의 제1항부터 제27항까지의 합을 구하는 거네요.

괄호를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

∑가 사용된 식

이번에는 거꾸로 수열의 합을 나타내는 식을 보고 그 값을 구해보죠.

일단 문자는 k고, 일반항이 k에 대한 식이에요. 시작 항은 2고 마지막 항은 5죠. 일반항이 (k + 1)인 수열의 제2항부터 제5항까지 더하라는 거예요.

a_n: (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1), (4 + 1), (5 + 1), …, (n - 1 + 1), (n + 1)

a₂ ~ a₅까지 더하는 거니까 3 + 4 + 5 + 6 = 18이네요.

이처럼 수열을 쓰고 해당하는 항을 더할 수도 있지만, 더 쉽게 하려면 (k + 1)이라는 식의 k자리에 2부터 5까지 대입해서 얻은 항들을 더해서 바로 구할 수도 있어요.

함께 보면 좋은 글

등차수열, 등차수열의 일반항
등차수열의 합, 등차수열의 합 공식
등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항
등비수열의 합, 등비수열의 합 공식

정리해볼까요

여러 가지 수열의 합

등비수열의 활용 - 단리와 복리2

<<  수학 1 목차  >>

∑의 기본 성질