단항식의 곱셈과 나눗셈

중등수학/중2 수학

수학방 2013. 1. 2. 12:30

단항식과 계수라는 용어는 1학년 때 들어봤어요. 그리고 단항식의 곱셈과 나눗셈도 해봤죠? 그때는 단항식과 수의 곱셈과 나눗셈이었고, 이 글에서 할 건 단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈이에요.

솔직히 말해 좀 짜증 나는 과정이라고 할 수 있어요. 같은 문자에 비슷비슷한 차수의 계산이 많이 나오거든요. 원리가 어렵다기보다는 계산이 복잡하죠. 문자와 차수를 잘 구별하고, 빼먹는 항이 없도록 집중해야하는 단원입니다.

실수를 줄이려면 계산 연습을 많이 해보는 방법밖에 없어요. 교과서의 예제를 많이 풀어보세요.

단항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항의 덧셈과 뺄셈에 나온 것처럼 차수와 문자가 같은 동류항끼리 계산해요. 1학년 때 해봤으니까 넘어가죠.

2a³b × 3ab²을 계산해보죠. 생략된 곱셈기호를 다시 살려서 계산하면 돼요.

2a³b × 3ab²
= (2 × a³ × b) × (3 × a × b²)
= 2 × 3 × a³ × a × b × b² (∵ 교환법칙)
= 6 × a⁴ × b³
= 6a⁴b³

매번 이렇게 풀어서 계산할 수는 없잖아요. 규칙을 알아보죠.

단항식의 덧셈, 뺄셈에서 숫자끼리 더하거나 빼고 문자는 뒤에 그대로 붙여준다고 했어요. 단항식의 곱셈에서도 숫자끼리 곱해요. 다만 문자는 바뀌죠? 문자는 어떻게 하냐면 지수법칙을 이용해서 밑이 같은 문자끼리 곱하는 거예요.

단항식의 곱셈: 숫자는 숫자끼리, 문자는 밑이 같은 문자끼리 곱

다음을 간단히 하여라.
(1) 3a²b³ × 4a³b³
(2) (2a)³ × 4a × 5a²
(3) (5a²b)² × (2a²b³)³

단항식의 곱셈은 숫자끼리, 문자끼리 곱하는 거예요.

(1) 3a²b³ × 4a³b³
= (3 × 4) (a² × a³) (b³ × b³)
= 12a⁵b⁶

두 번째 줄에서 숫자끼리, 밑이 같은 문자끼리 묶어서 계산했어요.

(2)에는 거듭제곱의 거듭제곱 꼴이므로 지수법칙 - 괄호를 이용해서 먼저 계산해야 해요. 괄호 안의 모든 항목을 거듭제곱해주는 거예요.
(2a)³ × 4a × 5a²
= 2³a³ × × 4a × 5a²
= (8 × 4 × 5) (a³ × a × a²)
= 160a⁶

(3)도 지수법칙을 이용해서 괄호를 먼저 전개한 다음에 곱셈을 해야 합니다.
(5a²b)² × (2a²b³)³
= 5²(a²)²b² × 2³(a²)³(b³)³
= 25a⁴b² × 8a⁶b⁹
= (25 × 8) (a⁴ × a⁶) (b² × b⁹)
= 200a¹⁰b¹¹

나눗셈에서도 곱셈처럼 숫자끼리, 밑이 같은 문자끼리 계산해요. 나눗셈은 분수를 이용하기 때문에 약분을 하는데, 이때는 밑이 같은 문자에서 지수를 빼는 거예요. 계산은 분수를 이용하는 방법과 역수를 이용하는 방법으로 합니다.

나눗셈을 분수로 바꿔서 계산하는 방법이에요. 나누는 수를 분수의 분모로 하는 방법이죠.

이번에는 역수를 이용하는 방법을 해보죠. 나누는 수에 분수가 있을 때 유용한 방법이에요.

위 경우처럼 나누는 항의 계수만 분수이고 문자는 분수가 아닐 때, 계수만 역수로 바꾸고 문자는 그대로 두는 경우가 있어요. 이 아니라 3a²b로 말이죠. 실수를 정말 자주 하는 거니까 꼭 주의하세요. 역수로 바꿀 때는 숫자와 문자 모두 다 뒤집어야 해요.

단항식의 나눗셈: 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산(약분)
분수꼴로 고쳐서
나누기를 곱하기로 바꾸고 역수

다음을 간단히 하여라.

단항식의 나눗셈도 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산해요. 대신 나누는 수가 분수면 역수를 이용하고, 분수가 아니면 분모로 만들어서 계산하지요.

(1)에서는 나누는 수가 분수가 아니므로 식 전체를 분수꼴로 바꿔서 계산하면 편해요

(2)번에는 괄호가 있으므로 괄호의 거듭제곱을 지수법칙을 이용해서 푼 다음에 나눗셈해야겠네요. 그리고 나누는 수에 분수가 있으니까 역수를 이용해서 계산하고요.

(3)번은 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 계산이네요. 앞에서부터 순서대로 계산하면 돼요.

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