일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항
사실 이제까지 해온 모든 과정은 이 글의 내용을 위해서 공부한 것이라고 해도 과언이 아니에요. 이 단원의 핵심이 바로 오늘 공부할 내용입니다.
일차방정식의 뜻과 풀이는 한 단원에서 제일 중요한 것뿐 아니라, 중1 수학에서 핵심 중의 핵심인 내용입니다. 매우 중요하죠.
설명과 원리는 비교적 간단하니까 문제 푸는 연습을 많이 하세요. 암산까지는 아니더라도 막힘없이 문제를 푸는 수준까지는 되어야 합니다.
이항
등식의 성질에서 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 같은 수를 빼도 등식은 성립한다고 했어요. 그리고 이 등식의 성질을 이용해서 미지수 x의 값을 구했죠.
2x + 3 = 9에서 좌변의 3을 없애주려고 양변에서 3을 빼줬어요.
2x + 3 - 3 = 9 - 3
여기서 우변은 그대로 두고, 좌변만 계산을 해보면 3 - 3은 0이 되니까 2x만 남죠.
2x = 9 - 3
처음 식 2x + 3 = 9와 두 번째 식 2x = 9 - 3을 비교해볼까요?
다른 건 다 그대로인데, 좌변에 + 3이 없어지고, 우변에 - 3이 생겼죠? 좌변에 있던 상수항은 없어지고, 우변에는 상수항과 부호가 반대인 새로운 상수항이 생겼어요.
이걸 원래 좌변에 있던 항의 부호를 반대로 바꿔서 우변으로 옮기는 것으로 생각하게 된 거죠. 이렇게 함으로써 좌변에서 상수항을 계산했던 과정을 생략할 수 있거든요.
이처럼 등식의 성질을 이용해서 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 등호의 반대쪽으로 옮기는 것을 이항이라고 해요. 이건 좌변에 있는 걸 부호를 바꾸어 우변으로 옮길 수도 있고, 우변에 있는 걸 부호를 반대로 바꿔서 좌변에 써 줄 수 있어요. 상수항만 되는 게 아니라 모든 항이 가능해요.
3 = x - 4에서 우변의 - 4를 좌변으로 옮기면서 부호를 반대로 바꿔주면
3 + 4 = x가 되지요.
3x - 2 = 6 - x라는 식이 있을 때, x가 있는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항하면
3x + x = 6 + 2가 돼요.
일차방정식의 뜻
일차방정식은 일단 이름에서 방정식이라는 걸 알 수 있어요. 그리고 차수가 1이라는 것도 알 수 있죠. 일차방정식은 차수가 1인 방정식을 말해요.
식 자체만 봐서는 일차방정식인지 아닌지 알 수 없어요. 일차방정식인지 판단하기 전에 모든 항을 좌변으로 이항해서 동류항끼리 계산을 해야 해요. 계산한 뒤에 좌변이 일차식이 되는지를 봐야 알 수 있어요. 일차방정식은 (일차식) = 0의 형태거든요.
2x + 3 = 5의 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.
2x + 3 - 5 = 0
2x - 2 = 0
이 식은 미지수 x의 차수가 1인 일차방정식이 맞네요.
2(x + 3) = 6 + 2x의 모든 항을 좌변으로 이항시켜 보죠.
2(x + 3) - 6 - 2x = 0
2x + 6 - 6 - 2x = 0
0 = 0
모든 항을 좌변으로 이항해서 정리했는데, 미지수 x가 없어요. 그래서 차수가 0이 되었죠. 2(x + 3) = 6 + 2x를 봤을 때, x의 차수가 1이었는데, 정리를 해보니까 x가 없어졌어요. 그냥 봤을 때는 일차방정식처럼 보이지만 실제는 아니라는 거죠. 따라서 일차방정식인지 아닌지를 알아볼 때는 이항과 동류항 정리를 꼭 해봐야 합니다.
다음 중 일차방정식을 모두 고르시오.
(1) 2(x + 3) = -2x + 3
(2) 2(x + 3) = 2x + 3
(3) x2 + x - 1 = x2 - x - 1
(4) x2 + x - 1 = -x2 - x - 1
일차방정식인지 아닌지 알아볼 때는 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리한 식이 일차식인지 보는 거예요.
(1) 2(x + 3) = -2x + 3의 모든 항을 이항시켜보죠.
2(x + 3) + 2x - 3 = 0
2x + 6 + 2x - 3 = 0
4x + 3 = 0
좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이 맞네요.
(2) 2(x + 3) = 2x + 3
2(x + 3) - 2x - 3 = 0
2x + 6 - 2x - 3 = 0
3 = 0
일단 3과 0은 같지 않으니까 틀린 등식인데다가 좌변에 문자가 없이 상수항만 있으니 차수가 0이 되어 일차식도 아니고, 방정식도 아닌 식이네요.
(3) x2 + x - 1 = x2 - x - 1
x2 + x - 1 - x2 + x + 1
2x = 0
좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이군요.
(4) x2 + x - 1 = -x2 - x - 1
x2 + x - 1 + x2 + x + 1 = 0
2x2 + 2x = 0
최고차항의 차수가 2이므로 이차방정식입니다.
보기에서 (1)과 (3)이 일차방정식입니다.
일차방정식의 풀이
일차방정식의 풀이는 기본적으로 이항과 등식의 성질을 이용해요. 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이에서 x = (숫자)꼴로 만들어서 해를 구했어요.
여기서도 마찬가지예요. x = (숫자) 꼴로 만들어요.
- x가 포함된 모든 항은 좌변으로, x가 없는 항(상수항)은 모두 우변으로 이항
- 각 변을 정리하여 ax = (숫자)꼴로
- x의 계수 a로 양변을 나눈다.
다음 방정식을 풀어라.
(1) 2x + 4 = 3x - 5
(2) 5 + 3x = x + 7
방정식을 푼다는 말은 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값, 해를 구하라는 얘기예요. 방정식을 풀 때는 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고, 동류항을 계산한 다음 x의 계수로 나눠주는 거죠.
(1) 2x + 4 = 3x - 5
2x - 3x = -5 - 4
-x = -9
x = 9
(2) 5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1
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