네 점이 한 원 위에 있을 조건
세 점은 무조건 같은 원 위에 있어요. 세 점을 연결해서 삼각형을 그리면 이 삼각형의 외접원을 그릴 수 있잖아요. 따라서 세 점은 바로 이 외접원 위에 있는 거죠.
사각형도 그럴까요? 사각형에서는 외접원을 그리지 못하는 경우도 있어요. 원의 외접사각형에서 사각형의 내접원을 항상 그릴 수 있는 게 아닌 것처럼요.
사각형의 외접원에 대해서는 뒤에서 더 자세히 공부할 테지만 그 전단계로 네 점이 한 원 위에 있을 수 있는 조건이 무엇인지 알아보죠. 네 점이 원 위에 있다면 그 원은 네 점을 연결해서 그린 사각형의 외접원이 될 테니까요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건
네 점이 한 원 위에 있으려면 어떤 조건이 필요할까요?
두 가지 조건을 동시에 만족해야 해요.
첫 번째는 네 점 중 두 점이 다른 두 점을 연결한 직선에 대해 같은 쪽에 있어야 해요. 위 그림에서 
두 번째는 위와 같은 상태에서 직선을 이루는 두 점과 다른 두 점으로 이루어진 각의 크기가 같아야 해요. ∠ACB = ∠ADB
첫 번째 조건은 원의 일부인 호와 원주각을 만들기 위한 과정이에요.
두 번째 조건은 호AB의 원주각이 될 수 있는지를 보는 거예요. 원주각의 성질에서 원주각의 위치와 관계없이 크기가 같다고 했으니까 호AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같은 다른 각이 있다면 이 각 역시 호AB의 원주각이 될 수 있는 거죠. 원주각은 원 위에 있는 각이니까 결국 점 D도 점 C와 같은 원 위에 있다는 뜻이에요.
네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가
∠ACB = ∠ADB 일 때
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.
원래 문제에서는 원을 그려주지 않지만 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으니까 원을 그렸어요.
네 점이 원 위에 있으니까 호BC에 대하여 원주각이 두 개 있죠? 원주각의 성질에서 같은 호에 대해서 원주각의 위치와 상관없이 원주각의 크기는 같다고 했으니까 ∠BAC = ∠BDC = 45°가 됩니다.
(삼각형 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이므로 오른쪽의 작은 삼각형 △CDE에서 112.5° = 45° + x°
x = 67.5°
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