일반항이 무리식인 수열의 합

분모의 유리화를 통해 일반항이 무리식인 수열의 합을 구하는 방법을 설명하고, 예제를 풀면서 확인합니다.

유리식은 통분해서 계산하는 게 기본이죠. 하지만 일반항이 유리식인 수열의 합을 구하는 문제는 통분이 아니라 분수를 쪼개서(?) 계산했어요.

무리식은 분모의 유리화를 하는 게 기본이죠. 이건 다르지 않아요. 일반항이 무리식이라면 분모를 유리화하는 게 첫 번째예요.

다음 합을 구하여라.
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}$

분모가 무리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항의 분모를 유리화해요. 한 번에 유리화하는 게 더 편하니까요.

일정한 규칙에 따라 제거할 수 있는 항은 제거하고 남은 항만 계산하면 됩니다.

\[ \begin{align} &\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}\\ &= \sum_{k=1}^{9}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\\ &= \sum_{k=1}^{9}\frac{(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}\tag{∵ 분모의 유리화}\\ &= \sum_{k=1}^{9}\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)}\\ &= \sum_{k=1}^{9}\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\\ &= (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) +…+ (\sqrt{10}-\sqrt{9})\\ &=\sqrt{10}-1 \end{align} \]

일반항이 유리식인 수열의 합

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수열의 귀납적 정의