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두 실수가 있을 때, 크기를 비교하는 방법이에요.

실수의 크기비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해본 적이 있어요. 여기에서 했던 방법에 하나만 더 추가하는 거예요.

두 수의 부호를 이용해서 두 수의 합과 곱, 다른 수와의 합, 차, 곱의 부호를 알 수 있는 성질을 공부할 거예요. 그리고 둘의 크기비교도 해볼거고요. 너무 당연한 성질이라서 읽어보면 왜 그런지 금방 이해할 수 있을 정도로 매우 쉬운 내용이에요.

실수의 대소관계에 대한 기본 성질

실수가 있다면 이 실수는 양수, 0, 음수 중 하나에요. 세 가지가 아닌 실수는 없어요. 실수는 아래와 같은 성질을 가져요.

a는 a > 0, a = 0, a < 0중 하나
a > 0 ⇔ -a < 0
a > 0, b > 0 ⇔ a + b > 0, ab > 0
a² ≥ 0

두 번째는 부등식의 성질에서 공부했던 거죠? 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다. a를 이항했다고 생각해도 되고요.

세 번째, 양수와 양수를 더했으니 결과는 당연히 양수죠. 곱한 것도 물론 양수고요.

네 번째, 양수와 음수는 제곱하면 양수가 되고, 0은 제곱해도 0이니까 어떤 실수든 제곱하면 0보다 크거나 같아요.

이번에는 세 실수에 관한 성질을 알아보죠.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b, c > 0 ⇔ ac > bc
a > b, c < 0 ⇔ ac < bc

두 번째, 세 번째, 네 번째는 부등식의 성질을 그대로 옮겨놓은 거네요.

a - b < 0, ab < 0일 때, a, b의 부호를 구하여라.

a - b < 0에서 a < b에요. ab < 0이라는 말은 하나는 양수고 하나는 음수라는 얘기죠.

따라서 크기가 큰 b > 0, 크기가 작은 a < 0이에요.

실수의 대소비교

위 성질을 이용해서 실제로 두 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠.

실수의 대소비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해봤어요. 두 수의 차를 이용했었죠?

a - b > 0 ⇔ a > b
a - b = 0 ⇔ a = b
a - b < 0 ⇔ a < b

한 수에서 다른 수를 빼서, 결과의 부호에 따라 두 수의 크기를 비교할 수 있었어요.

제곱근이나 절댓값처럼 양수인 경우에 제곱의 차를 이용해서 크기를 비교해요. 한 개라도 음수면 사용할 수 없어요.

a > 0, b > 0일 때
a² - b² > 0 ⇔ a > b
a² - b² = 0 ⇔ a = b
a² - b² < 0 ⇔ a < b

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계에서 제곱근 밖의 숫자를 제곱해서 제곱근 안으로 넣어서 크기를 비교했죠? 이번에는 제곱근 안으로 넣지 않고, 그냥 전체를 제곱하는 거예요.

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
(1) 4, 2

제곱근이 있긴 한데, 둘 다 양수죠? 이럴 때는 제곱을 구해서 뺀 결과의 부호로 크기 비교를 해요.

4² - (2)²
= 16 - 12
= 4 > 0

제곱의 차가 양수이므로 앞에 있는 4가 더 커요. 4 > 2

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[중등수학/중2 수학] - 부등식의 성질

제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알아봤어요.

이번 글에서는 제곱근의 크기를 비교하는 걸 해볼꺼에요. 제곱근끼리의 크기비교도 해볼꺼고요. 제곱근과 제곱근이 아닌 수와의 크기 비교도 해볼꺼에요.

제곱근도 하나의 수이므로 대소비교를 하는데, 기존에 해봤던 정수의 대소관계나 유리수의 대소관계의 성질과 별로 다르지 않아요. 정수와 유리수는 음수, 0, 양수의 세 수로 나눌 수 있었어요. 음수는 숫자가 작을수록 크고, 양수는 숫자가 클수록 크죠? 이것만 기억하고 있으면 돼요.

제곱근의 대소관계

넓이가 3cm², 5cm², 7cm²인 정사각형이 세 개가 있어요. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱해서 구하니까 정사각형 한 변의 길이는 각각 에요.

정사각형 한 변의 길이의 순서는 넓이의 순서와 같죠? 따라서 작은 것부터 순서대로 쓰면 에요.

정수의 대소관계나 유리수의 대소관계에서 수직선에서 오른쪽에 있을수록 크기가 크다고 했죠? 제곱근도 마찬가지로 수직선으로 나타냈을 때 오른쪽에 있을수록 크기가 더 커요. 음수, 0, 양수의 순서죠.

정수, 유리수에서 대소비교할 때 양수는 숫자가 크면 크고, 음수는 숫자가 작아야 크잖아요. 제곱근의 대소관계에서는 그냥 숫자가 아니라 근호 안의 숫자의 크기를 가지고 얘기해요.

제곱근이 양수일 때는 근호 안의 숫자가 클수록 크고
제곱근이 음수일 때는 근호 안의 숫자가 작을수록 커요.

제곱근과 유리수의 대소관계

제곱근끼리의 대소비교는 근호 밖의 부호(음수, 0, 양수)와 근호안의 숫자 크기를 비교하면 알 수 있어요. 그러면 제곱근과 유리수의 크기 비교는 어떻게 할까요? 유리수는 근호가 없어서 바로 비교할 수가 없잖아요.

제곱근의 근호를 없앨 수 있으면 근호를 없애서 유리수와 비교하면 되는데, 제곱근을 없애고싶다고 없앨 수 있는 건 아니에요.

그래서 반대로 유리수를 근호안에 넣어서 제곱근으로 모양을 바꾼 다음 비교를 해요. 근호 밖의 유리수를 제곱해서 근호 안으로 넣는 거죠. 이렇게 하면 모두 제곱근이 되고, 위에서 했던 것처럼 근호 안의 숫자의 크기를 비교해서 제곱근과 유리수의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 크기가 작은 순서대로 나열하여라.

몇 개는 정수로 되어있네요. 정수로 되어있는 건 근호 안에 넣어줘야 해요. 근호 안에 넣어줄 때는 숫자를 제곱해서 넣어야 하죠.

정수든 유리수든 제곱근이든 대소비교를 할 때 가장 먼저 해야할 건 부호에 따라서 크기를 나누는 거예요. 음수, 0, 양수로 나눠볼까요?

음수는 근호 안의 숫자가 큰 게 작아요. 양수는 근호 안의 숫자가 큰 게 크지요. 16 < 5, ½ < 3 < 4 이므로

순서대로 배열했으니까 처음 문제에서 줬던 숫자로 다시 써보면

을 만족하는 자연수 x를 모두 구하여라.

2, 3이 근호 밖에 있으니까 근호 안에 넣어서 크기를 비교해야 해요.

따라서 x가 될 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8 네 개네요.

이런 문제를 조금 더 쉽게 풀기 위해서는 2, 3을 근호 안에 넣는 것도 좋지만 각 항을 모두 제곱해버리는 게 좋아요. 각 항을 제곱하면 4 < x < 9가 바로 나오지요?