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삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x - p)² + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요.

y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요.

만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, -에요.

sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요.

이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠.

이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠.

y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠.

그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요.

x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다.

y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교

	y = sinx	y = sin(bx)
주기	2π
최댓값	1	1
최솟값	-1	-1

이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠.

이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)²은 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠.

그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요?

y = sin(x + c)
y = sin{x - (-c)}

x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요.

y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q의 그래프를 생각해보세요.

같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요.

위 내용을 한 번에 정리해보죠.

y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠.

y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교

	y = sinx	y = asin(bx + c) + d
주기	2π
최댓값	1	|a| + d
최솟값	-1	-|a| + d

a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다.

y = cosx 그래프의 이동

y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요.

y = tanx의 그래프의 이동

하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다.

y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠.

a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요.

b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요.

c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요.

d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요.

삼각함수 그래프의 이동

	y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d	y = atan(bx + c) + d
최댓값	|a| + d	없음
최솟값	-|a| + d	없음
주기
점근선	없음.	(n은 정수)

위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요.

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피타고라스의 정리에 이어 이번에는 삼각비입니다.

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계였어요. 삼각비도 직각삼각형에서 변의 길이에 관한 내용입니다. 단순히 변의 길이가 아니라 변의 길이 사이의 비율에요.

피타고라스의 정리에서는 길이의 관계만 따졌는데, 삼각비는 각도에 관한 내용이 추가되었어요.

삼각비도 직각삼각형에서 구하는 거라서 피타고라스의 정리와 비슷한 부분이 조금 있지만 조금 더 어려운 내용이 나옵니다. 하지만 그 비율이라는 게 일정한 값을 가지고 있기때문에 복잡한 계산을 요구하지는 않으니 너무 걱정하지는 마세요.

삼각비

삼각비는 직각삼각형에서 두 길이의 비를 얘기해요. 꼭 직각삼각형이어야만 합니다. 직각삼각형이 아니면 안 돼요.

삼각비를 구할 때는 기준각이라는 게 있어요. 어떤 각을 하나 주고 그 각에 대한 삼각비를 구하는 거지요. 삼각비는 이 기준각의 크기에 따라 달라집니다. 변의 길이나 삼각형의 크기와 상관없이 기준각이 같으면 서로 다른 직각삼각형이라도 삼각비는 같아요. 이건 설명이 너무 길어져서 생략합니다. 그냥 이렇게만 알고 계시면 돼요.

직각삼각형에서 직각의 대변은 빗변이에요. 그리고 기준각의 대변을 높이로 남은 한 변을 밑변으로 부르기로 약속을 했어요. + 기호 양쪽에 있는 값을 서로 더한다고 약속한 것처럼 그냥 그렇게 딱 정했어요.

sin

sin이에요. 원래는 sine인데, 앞의 세 자만 따서 sin이라고 써요. 한글로 쓰면 사인인데, 읽을 때는 싸인이라고 읽습니다.

sin은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

cos

cos이에요. 원래는 cosine인데, 앞의 세 자만 따서 cos이라고 써요. 한글로 쓰면 코사인인데, 읽을 때는 코싸인이라고 읽습니다.

cos은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 밑변의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 으로 구합니다.

tan

tan에요. 원래는 tangent인데, 앞의 세 자만 따서 tan이라고 써요. 탄젠트라고 쓰고 읽어요.

tan은 직각삼각형 두 변의 길이 중 밑변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

각의 기호로 썼는데요. 각의 크기로 쓰기도 합니다. 기준각의 크기가 60°이면 sin60°라고 쓰기도 해요. 그럼 그림에서 각의 크기가 60°인 각을 찾아서 그 각을 기준각으로 삼으면 되죠. cos60°, tan60°도 마찬가지고요.

삼각비: 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비
sin = , cos = , tan  =

삼각비를 쉽게 구하는 방법

삼각비를 쉽게 구하려면 삼각형을 원하는 모양으로 그려야 해요. 기준각이 왼쪽 아래에, 직각은 오른쪽 아래에 오게 삼각형을 그려요.

그리고 영어 s, c, t의 필기체를 쓰는 거지요. 영어 소문자 필기체 쓸 줄 알죠?

s는 sin, c는 cos, t는 tan를 구할 때 써요. s와 t는 1, 2번만 있으면 돼요.

삼각형을 위 그림처럼 돌려놓은 다음에 필기체를 쓰면 먼저 써지는 게 분모, 나중에 써지는 게 분자가 되는 거예요. sin의 s는 빗변에서 출발해서 높이로 이어지지요. 그래서 sin은 가 되는 거예요. cos의 c는 빗변에서 출발해서 밑변으로 이어지니까 cos은 , tan의 t는 밑변에서 시작해서 높이로 이어지니까 가 되는 거고요.

다음 직각삼각형 ABC에서 각 A에 대한 삼각비를 구하여라.

삼각비를 구하려면 빗변의 길이를 알아야 해요. 직각삼각형이니까 빗변의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구할 수 있어요. 피타고라스의 수 3, 4, 5니까 빗변의 길이는 5에요.

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