정수아닌 유리수
무리수와 실수, 실수체계
오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.
이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는지 몰랐을 뿐이에요.
또 실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학 시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.
이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야 합니다.
무리수와 실수
이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, …… 같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수 꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 자연수는 정수에 포함되고, 정수는 유리수에 포함돼요. 결국, 자연수는 유리수에 포함되는 거죠.
유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. 그러니까 유한소수와 순환소수는 유리수에 속해요.
그럼 분수 꼴로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.
무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수니까 그 반대인 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수예요. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 
유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두 가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.
앞으로 특별한 언급 없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.
무리수: 유리수가 아닌 수
순환하지 않는 무한소수, π
근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수
그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.
아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.
다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 된다.
(2) 정수는 무리수에 속한다.
(3) 정수는 자연수에 속한다.
(4) 유리수가 아니면 무리수이다.
(5) 유리수면서 동시에 무리수인 수는 없다.
위의 그림을 잘 보세요. 자연수는 정수에 속하고, 정수는 유리수에 속해요. 그러니까 자연수는 유리수에 속하죠. 또, 유리수와 무리수 모두 실수에 속하고요. 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되네요.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되므로 맞아요.
(2) 정수는 무리수에 속하는 게 아니라 유리수에 속하니까 틀렸어요.
(3) 자연수가 정수에 속하니까 거꾸로 됐네요. 틀렸어요.
(4) 유리수가 아니면 무리수에요. 반대로 무리수가 아니면 유리수지요.
(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 맞아요. 반대로 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수는 없어요.
따라서 틀린 건 (2), (3)입니다.
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유리수, 유리수의 분류
정수를 다 공부했어요.
이제 또 새로운 수를 배울 거예요. 유리수라는 건데, 중학교 1, 2학년 수학에서 수라고 말하면 대부분 유리수를 말하는 거예요. 그러니까 이 글을 집중해서 보세요.
이 유리수는 정수의 연장선이라고 생각하면 돼요. 따라서 유리수라는 수의 개념만 잘 이해하면 나머지는 비교적 쉬워요. 정수의 연장선인 만큼 그 성질, 사칙연산과 연산에서 성립하는 법칙 등이 정수와 같아요.
유리수를 분류하는 여러 가지 방법도 알아볼 거예요.
유리수의 뜻
유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요. 분수에서 분자와 분모는 정수면 되고요. 꼭 자연수일 필요는 없어요. 단 분모는 0이면 안 돼요. 분모가 0인 분수는 없으니까요.
유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수에요. 수의 모양을 분수꼴로 바꿀 수 있으면 다 유리수인 거죠. 유리수와 분수를 같은 것으로 착각하는 데 절대로 그러면 안 돼요. 유리수 ≠ 분수
정수나 소수도 얼마든지 분수 모양으로 바꿀 수 있어요.
유리수는 정수, 분수, 소수 등 이제까지 우리가 봐왔던 모든 수를 통틀어 놓은 거예요. 그러니까 완전히 새로 배우는 수는 아니에요.
정수에 양의 정수, 0, 음의 정수가 있는 것처럼 유리수도 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 되어 있어요.
양의 정수는 (+) 부호를 생략해서 쓰는 것처럼 양의 유리수도 (+) 부호를 생략해서 쓸 수 있어요. 음의 유리수의 (-) 부호는 생략할 수 없고요.
유리수의 분류
위에서는 부호에 따라서 유리수를 나눴죠? 다른 방법으로 구분하기도 하는데요.
유리수의 대표적인 수가 바로 정수잖아요. 정수와 정수가 아닌 유리수로 나누는 거예요. 정수가 아닌 유리수에는 분수, 소수 이런 것들이 포함돼요.
아래 그림을 잘 기억하세요.
다음 수를 정수와 정수 아닌 유리수로 구분하여라.
정수: +1, 0,
정수 아닌 유리수:
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