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정삼각형이 뭔지 알죠? 정사각형, 정오각형도요.

정삼각형, 정사각형, 정오각형 등을 정다각형이라고 해요. 선분의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형이죠.

다면체에도 이런 다각형처럼 정다면체라는 게 있어요. 이번 글에서는 정다면체는 무엇인지 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

그림 그리는 게 너무 어려워서 그림은 없어요. 가지고 있는 교과서나 참고서의 그림을 참고하세요.

정다면체

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말해요.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지밖에 없어요. 정오면체나 정구면체같은 건 없다는 거지요.

정다면체가 되려면 두 가지 조건을 만족해야 해요.

첫 번째는 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 해요. 한 꼭짓점에서 면이 하나만 있거나 두 개만 만나면 둘러싸이지 않은 부분이 생기지요?

두 번째는 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기는 360°보다 작아야 해요. 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기가 360°라면 그것은 그냥 평면이 돼버리잖아요. 그리고 한 평면에서 360°보다 큰 각은 나오지 않겠죠?

위 두 가지 조건을 만족하는 정다면체는 뭐가 있을까요?

모든 면이 합동인 정다각형이라고 했으니까 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 면이 될 수 있어요.

그리고 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나면서 그 각의 합이 360°보다 작은 경우를 찾아보죠.

다각형 내각의 크기의 합과 외각 크기의 합에서 봤던 것처럼 정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 내각은 90°, 정오각형은 108°, 정육각형은 120°에요.

위 표에서 보면 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°를 넘지 않는 경우는 정삼각형이 3, 4, 5개 모였을 때, 정사각형이 3개 모였을 때, 정오각형이 3개 모였을 때 총 다섯 가지 경우뿐이에요.

그래서 정다면체는 총 다섯 개밖에 없는 거예요.

한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모이면 정사면체
                   "            4         "     정팔면체
                   "            5         "     정이십면체
         "      정사각형   3         "     정육면체
         "      정오각형   3         "     정십이면체

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새로운 단원의 시작이에요. 평면도형에 대해서 공부할 거예요.

평면도형은 앞에서 공부했던 평면 위에 있는 도형을 말해요. 더 깊이 생각할 필요도 없어요.

이 단원에서는 평면도형의 종류를 알아보고 그 도형마다 어떤 특징이 있는지 공부할 거예요. 우선 이 글에서 우리가 알고 있는 삼각형, 사각형 등에서 사용하는 용어와 그 특징들을 알아보죠.

용어라 해봐야 두 세 개밖에 안되니까 어렵게 생각하지 말고, 용어의 정의보다는 특징과 관련성 등에 주목해서 읽어보세요.

다각형

다각형은 이름 그대로 각이 여러 개 있는 도형이에요. 다시 말해 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면 위의 도형이죠. 대표적인 다각형은 뭐가 있어요? 맞아요. 삼각형, 사각형, 오각형 등이 있어요.

원은 다각형이 아니에요. 각이 없잖아요.

보통 다각형은 둘러싸인 선분의 개수로 이름을 부르는데 선분이 3개이면 삼각형, 4개이면 사각형이라고 해요. 선분이 n개이면 n각형이라고 하지요. 각의 개수에 따라 불러도 똑같죠.

내각, 외각

다각형에서 꼭짓점은 알파벳 대문자를 사용해서 A, B, C … 순서로 이름을 적어요. 위 그림에서도 각 꼭짓점에 알파벳으로 이름을 붙였네요.

내각이라는 게 있어요. 다각형의 한 꼭짓점에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 각을 말해요. 이름 그대로 다각형의 안쪽에 있는 각이죠. 위 그림에서 내각은 ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E 이렇게 총 다섯 개가 있어요. 오각형이니까요.

외각은 내각과 반대로 바깥에 있는 각이에요. 다각형의 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각이에요. 다각형의 변 하나를 원래보다 길게 죽 그어요. 이렇게 길게 그은 선과 그 옆에 있는 선과 이루는 각이 외각이에요.

위 그림에서 변 CD의 연장선을 그었더니 ∠EDF라는 각이 생겼어요. 이 각이 바로 ∠CDE의 외각이에요. 또 변 DE의 연장선을 그었더니 ∠CDG라는 각이 생기죠? 이 각도 역시 ∠CDE의 외각이에요. ∠CDE의 외각이 ∠EDF와 ∠CDG 두 개가 생겼어요. 그런데 잘 보면 이 두 각은 직선 CF와 직선 EG라는 두 직선이 만나서 생기는 맞꼭지각이죠? 맞꼭지각은 크기가 같으니까 두 외각도 크기가 같아요. ∠EDF = ∠CDG

내각인 ∠CDE와 외각인 ∠EDF를 더하면 몇 °가 될까요? 두 각을 더하면 ∠CDF가 되는데 이건 평각이라서 180°예요. (내각) + (외각) = 180°

자, 다음 두 가지를 기억하세요.

한 꼭짓점에서 두 개의 외각은 맞꼭지각으로 크기가 같다
한 꼭짓점에서 내각과 그 이웃한 외각의 합은 180°

내각과 외각의 설명이 어렵죠? 그냥 정의를 그렇게 하는 거지 외워야하는 건 아니에요. 내각과 외각이 무엇을 의미하는지 알고 그림에서 내각과 외각을 찾을 줄 알면 돼요.

정다각형은 정삼각형, 정사각형처럼 모든 변의 길이가 같고 내각의 크기가 모두 같은 다각형을 말해요. (내각) + (외각) = 180°인데, 내각의 크기가 모두 같으니까 외각의 크기도 모두 같겠죠? n개의 선분으로 둘러싸인 정다각형은 정n각형이라고 불러요.

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