원뿔의 부피
원뿔의 높이와 부피, 원뿔의 부피 공식
1학년 때 원뿔의 겉넓이와 부피를 구하는 공식을 배웠어요. 이때는 밑면의 반지름과 높이를 알려줬죠?
이제는 높이를 알려 주지 않아요. 대신 모선의 길이를 알려주죠. 이 주어진 모선의 길이를 이용해서 높이를 구한 다음 원뿔의 부피를 구해야 해요. 물론 높이를 구하는 과정은 피타고라스의 정리를 이용할 거고요.
높이를 구하는 과정만 추가된 거니까 원뿔의 부피 공식은 그대로 사용할 수 있어요. 즉, 이 글에서는 부피를 구하는 것보다는 높이를 구하는 과정이 더 중요해요.
원뿔의 높이 구하기
아래 그림 같은 원뿔이 있어요.
높이(h)와 밑면의 반지름(r), 모선(l)으로 이루어진 직각삼각형을 만들 수 있겠죠? 이 중 반지름과 모선의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있습니다. △ABO에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.
원뿔의 부피 공식
원뿔의 겉넓이와 부피에서 밑면의 반지름이 r인고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하는 공식을 공부했죠?
원뿔의 부피 공식은 그대로예요. 높이를 알려주지 않았을 때 위의 직각삼각형을 그려서 높이를 구하고 공식에 대입하면 되는 겁니다.
아래 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 밑면의 반지름 r은 얼마인가?
(2) 원뿔의 부피를 구하여라.
원뿔의 전개도인데, 위쪽의 부채꼴과 아래쪽의 원(밑면)으로 두 부분으로 나뉘어 있어요. 8cm로 나오는 부분은 부채꼴의 반지름이자 원뿔의 모선의 길이에요. 원뿔의 높이가 아니니까 주의하세요.
(1)에서 반지름을 구하라고 했는데요, 얼핏 보니 주어진 정보가 모선의 길이밖에 없어요. 그리고 또 뭐 있죠? 바로 부채꼴의 중심각이에요. 부채꼴의 중심각이 직각이네요.
부채꼴에서 중심각을 알면 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 부채꼴 호의 길이를 구할 수 있어요. 부채꼴 호의 길이는 밑면의 원주와 같으니 여기에서 반지름을 구하는 거죠.
위 공식에서의 r과 문제에서 구하라고 하는 r은 다르다는 것쯤은 알고 있죠? 공식에 넣을 r은 바로 원뿔의 모선의 길이인 8cm입니다.
부채꼴 호의 길이 = 2π × 8 × 90° ÷ 360° = 4π(cm)
부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원주
4π = 2πr
r = 2(cm)
(2)번은 원뿔의 부피를 구하라고 했네요.
부피를 구하려면 먼저 높이를 구해야겠죠? 높이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구해요.
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이제 중1 수학도 막바지에 다랐어요. 얼마 남지 않았으니까 조금 더 힘내세요.
이번 글에서는 각뿔과 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해서 알아볼 거예요.
각뿔과 원뿔의 겉넓이는 각기둥과 원기둥의 겉넓이, 부피, 부채꼴의 넓이 구하는 공식 등에 대해서 알고 있어야 이해할 수 있어요.
혹시 잘 기억이 안 난다면 원기둥의 부피와 겉넓이, 각기둥의 부피와 겉넓이와 부채꼴 넓이를 얼른 보고 오세요.
각뿔의 겉넓이와 부피
각기둥의 겉넓이를 구할 때 전개도로 펼쳐서 구했어요. 그리고 (밑면의 넓이) + (옆면의 넓이)로 구했고요. 각뿔도 마찬가지예요.
각뿔이 각기둥과 다른 점은 밑면이 한 개뿐이고, 옆면은 모두 삼각형이라는 거예요.
밑면은 각뿔의 형태에 따라 다르지만 다각형의 넓이 구하는 방법으로 구할 수 있잖아요.
각기둥에서는 옆면이 직사각형이라서 하나의 큰 직사각형으로 구할 수 있었는데, 각뿔에서는 옆면이 삼각형인 데다 삼각형의 넓이도 제각각이어서 하나씩 구해서 다 더해줘야 하는 불편함이 있어요. 하지만 실제 문제에서는 옆면이 이등변삼각형으로 합동인 경우가 많으니까 하나 구해서 × 4하면 돼요.
주의해야 할 게 있는데, 각뿔의 높이와 옆면인 삼각형의 높이를 잘 구별하세요.
각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 각기둥의 부피의 
각뿔의 높이가 h일 때
각뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이)
각뿔의 부피 =
원뿔의 겉넓이와 원뿔의 부피
원뿔을 전개도로 펼쳐보면 아래 그림처럼 부채꼴인 옆면 한 개와 원인 밑면 한 개로 되어 있어요.
원뿔의 넓이도 (밑넓이) + (옆넓이)니까 (원의 넓이) + (부채꼴의 넓이)하면 되겠지요.
밑면은 반지름이 r인 원이니까 넓이는 πr2이에요.
옆넓이인 부채꼴 넓이는 중심각의 크기를 알 때와 부채꼴 호의 길이를 알 때 두 가지 방법으로 구할 수 있는데, 여기서는 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식으로 부채꼴의 넓이를 구합니다.
부채꼴의 넓이 = 
여기서 r은 부채꼴의 반지름, l은 부채꼴 호의 길이를 말해요. 위 전개도에 나온 r, l과 서로 다른 r, l이죠. 이 부분을 주의하세요.
부채꼴의 반지름은 모선의 길이 l이에요. 부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같아요. 밑면의 반지름이 r이라면 부채꼴 호의 길이는 2πr이죠. 공식에 대입해서 옆면인 부채꼴의 넓이를 구하면
각뿔의 부피가 각기둥의 부피의
원기둥의 부피는 πr2h였으니까 여기에
밑면의 반지름이 r, 높이가 h, 모선의 길이가 l일 때
원뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = πr2 + πrl
원뿔의 부피 =
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