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로그함수와 로그함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

로그의 정의에서 공부했던 것처럼 로그와 지수(거듭제곱)는 서로 깊은 관계가 있어요. 따라서 로그함수와 지수함수도 아주 깊은 관계가 있죠. 그래프도 물론이고요.

역함수와 역함수의 그래프의 성질에 대해서 알고 있으면 로그함수와 지수함수의 관계를 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

로그함수

역함수, 역함수 구하는 법에서 역함수 구하는 방법 공부했었죠?

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 역함수를 구해보죠.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
   지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)에서 정의역은 실수의 집합이고, 치역은 양수의 집합이었어요. 그리고 일대일 대응이죠.
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
   로그의 정의에 따르면 y = a^x → x = log_ay
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
   y = log_ax
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
   정의역은 양수의 집합, 치역은 실수의 집합

지수함수의 역함수를 구했더니 a를 밑으로 하는 로그가 되었죠? 이 로그를 로그함수라고 해요.

로그함수
y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)
지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 역함수
정의역은 양수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합

로그함수의 그래프

로그함수의 그래프를 한 번 그려보죠.

로그함수는 지수함수의 역함수예요. 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이에요. 지수함수 y = a^x의 그래프를 y = x에 대칭이동한 그래프가 로그함수 y = log_ax의 그래프죠.

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 (0, 1), (1, a)를 지나고 x축이 점근선이었어요.

그리고 a의 범위에 따라 두 가지 형태가 있었죠. a > 1일 때는 x가 증가할 때, y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

왼쪽이 a > 1일 때로 얇은 빨간선이 y = a^x의 그래프, 두꺼운 파란선이 y = log_ax의 그래프예요. 로그함수의 그래프도 x가 증가하면 y가 증가하네요. 로그함수의 그래프는 y축에 점점 가까워지니까 y축이 점근선이에요.

오른쪽이 0 < a < 1일 때로 지수함수와 로그함수의 그래프에서 x가 증가하면 y가 감소해요.

지수함수 y = a^x, 로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)를 비교해보죠.

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역함수를 공부했으니 이제 역함수의 성질과 역함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

역함수의 성질은 조금 어렵습니다. 그 대신 역함수의 정의에 따라 엄격하게 성질을 적용하기보다 정의역과 공역을 실수 전체의 집합으로 제한하고 범위를 좁혀서 단순하게 정리해보죠. 이렇게 하면 훨씬 쉬워지거든요.

역함수의 그래프는 그래프를 그리는 것보다 그래프를 읽는 방법이 중요하니까 그 점에 주의하시고요. 역함수의 개념을 생각해보면 왜 그렇게 되는지 이해할 수 있을 거예요.

역함수의 성질

함수 f: X → Y가 일대일 대응일 때, f^-1: Y → X를 f의 역함수라고 했어요.

y = f(x) ⇔ x = f^-1(y)

역함수의 성질을 몇 가지 정리해보죠.

(1) (f^-1)^-1 = f
(2) (f^-1 ο f)(x) = x (x ∈ X)
(3) (f ο f^-1)(y) = y (y ∈ Y)

(1) 역함수는 일대일 대응일 때, 정의역과 치역을 바꾼 함수니까 원래 함수와 역함수는 서로가 서로에게 역함수죠.

(2) (f^-1 ο f)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x
즉 f^-1 ο f는 X에서의 항등함수예요.

(3) (f ο f^-1)(y) = f(f^-1(y)) = f(x) = y
f ο f^-1는 Y에서의 항등함수에요.

정의역 X와 공역 Y가 실수 전체의 집합일 때는 (2), (3)의 구분이 의미가 없죠? 따라서 이때는 f ο f^-1 = f^-1 ο f = I가 돼요. 역함수 단원에서 나오는 문제는 정의역과 공역을 실수 전체의 집합으로 두는 경우가 많으니까 이 성질을 이용하면 됩니다.

항등함수 I와 관련된 성질도 있어요. 두 함수 f, g와 항등함수 I의 관계예요.

(4) g ο f = I ⇔ g = f^-1
(5) f ο g = I ⇔ f = g^-1

(4) (g ο f)(x) = I(x)
g(f(x)) = x
g(y) = f^-1(y)

(5) (f ο g)(x) = I(x)
f(g(x)) = x
f(y) = g^-1(y)

어떤 두 함수를 서로 합성했을 때 항등함수 I가 나온다면 두 함수는 서로에게 역함수라는 걸 알 수 있어요.

여러 함수를 합성했을 때의 역함수를 알아보죠.

(6) (f ο g)^-1 = g^-1 ο f^-1
(7) (f ο g ο h)^-1 = h^-1 ο g^-1 ο f^-1

여러 함수의 합성함수의 역함수는 순서가 거꾸로라는 걸 보여주네요.

(f ο g)에 (g^-1 ο f^-1)를 합성해보죠.
(f ο g) ο (g^-1 ο f^-1)
= f ο (g ο g^-1) ο f^-1      (∵ 결합법칙)
= f ο I ο f^-1                  (∵ g ο g^-1 = I)
= f ο f^-1
= I

(f ο g) ο (g^-1 ο f^-1) = I이므로 (4) 번 성질에 의해 (f ο g)와 (g^-1 ο f^-1)는 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 즉, (f ο g)^-1 = g^-1 ο f^-1가 됩니다.

y = x + 1일 때, (f ο f^-1)(1) + (f^-1 ο f)(2)+ f(3) + f^-1(4)를 구하여라.

정의역과 공역이 실수 전체의 집합일 때, (f ο f^-1)(x) = (f^-1 ο f)(x) = I(x) = x에요.

y = x + 1
x = y - 1

y = x - 1

(f ο f^-1)(1) + (f^-1 ο f)(2) + f(3) + f^-1(4)
= 1 + 2 + (3 + 1) + (4 - 1)
= 10

역함수의 그래프

함수 y = f(x) 위의 임의의 점을 (a, b)라고 하면 b = f(a) 예요. a = f^-1(b)가 되겠죠.

이때, 점 (b, a)는 y = f(x)의 역함수 y = f^-1(x)의 그래프 위에 있어요. 그런데 (a, b)와 (b, a)는 x, y좌표를 서로 바꾼 것으로 y = x에 대하여 대칭이에요. 따라서 원래 함수의 그래프와 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이라는 것을 알 수 있어요.

함수 y = f(x)의 그래프와 그 역함수 y = f^-1(x)의 그래프는 y = x에 대하여 대칭

역함수 구할 때 x, y를 서로 바꿨잖아요. 그리고 직선에 대하여 대칭이동(y = x)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y좌표를 서로 바꿔준다고 했고요. 이 둘을 섞은 거예요.

y = 2x + 1의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점의 좌표를 구하여라.

원래 함수와 역함수는 y = x에 대하여 대칭이에요. 따라서 교점이 생기면 그 교점은 y = x 위의 점이죠. 함수의 그래프와 역함수의 교점은 함수의 그래프와 y = x의 교점과 같아요.

x = 2x + 1
x = -1
y = -1

y = 2x + 1의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점은 (-1, -1)

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