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일반항이 분수꼴인 수열의 합

부분분수

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.$$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{3}{(x+1)(x+4)} +\cdots \frac{1}{(x+9)(x+10)}$$

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구하는데, 앞 식을 통분하면 분모는 10차식 분자는 8차식이 돼요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용해요..

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

분모가 1이 아닐 때도 마찬가지로 묶고요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{9\times 10}$$

분모가 유리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항인 분수를 쪼개(?) 보죠.

일반항이 무리식인 수열의 합

유리식은 통분해서 계산하는 게 기본이죠. 하지만 앞서 일반항이 유리식일 때 수열의 합을 구하는 문제는 통분이 아니라 분수를 쪼개서(?) 계산했어요.

무리식은 분모의 유리화를 하는 게 기본이죠. 이건 다르지 않아요. 일반항이 무리식이라면 분모를 유리화하는 게 첫 번째예요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}$$

분모가 무리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항의 분모를 유리화해요.

등차수열의 합, 등비수열의 합에 이어 여러 가지 수열의 합이에요. 여기서는 시그마(∑)라는 새로운 기호와 표현법을 공부할 거예요. 시그마가 나타내는 것과 시그마와 관련된 숫자, 문자의 위치가 어디인지 잘 알아두세요. 물론 그 위치에 있는 문자와 숫자가 어떤 의미인지도 잘 알아야 하고요.

처음 보는 이상하게 생긴 기호라 많이 낯설 거예요. 새로운 기호를 공부하므로 기호를 식으로 식을 기호로 바꾸는 연습이 필요합니다. 어렵지는 않으니까 금방 할 수 있을 거예요.

여러 가지 수열의 합

이제까지 수열을 a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_{n - 1}, a_n으로 표현했어요. 그리고 이 수열의 합 S_n은 공식을 이용해서 구했고요. 그런데 등차수열의 합, 등비수열의 합은 제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요. 물론 공식을 잘 활용하면 다른 범위의 수열의 합을 구할 수도 있긴 있죠.

이제부터는 수열의 합을 표현하는 다른 방법을 알아보죠.

예를 들어 "제1항부터 제n항까지의 합을 구하라." 이 말을 간단하게 식으로 나타낼 수 있으면 편하겠죠? 이처럼 말로 길게 써야 하는 수열의 합을 쉽게 나타내는 방법이 있어요.

모양이 좀 이상하게 생겼죠? 저기 가운데 뾰족하게 생긴 걸 "시그마"라고 읽어요. 합이니까 영어로는 sum인데, 첫 글자 s에 해당하는 그리스 문자가 바로 시그마(∑)예요.

시그마를 제외한 나머지 자리에 번호를 붙여봤어요. 번호에 해당하는 내용이 어떤 건지 알아보죠.

①에는 문자가 들어가요. 문자는 k, i 등 어떤 거라도 상관없어요. 다만, 대게 n은 항의 순서를 나타내는 문자라서 n은 잘 사용하지 않아요.

②는 수열의 합을 구할 시작 항의 번호를 써요. 제1항부터 합을 구하려면 1, 제2항부터 합을 구하려면 2를 써요.

③은 수열의 합을 구할 마지막 항의 번호를 써요. 제100항까지 합을 구하려면 100, 제n항까지 합을 구하려면 n을 써요.

④는 수열의 일반항을 써요. 수열의 일반항에서는 n을 이용해서 a_n = (n에 대한 식)의 꼴이었죠? 여기서는 n이 아니어도 상관없는데 반드시 ①에서 사용했던 문자에 대한 식이어야 해요. ①이 k였다면 k에 대한 식, i였다면 i에 대한 식이어야 해요.

n은 항의 순서를 나타내니까 일반항을 나타내는 식에서는 n이라는 문자 대신 k라는 문자를 나타냈어요.

읽을 때는 "시그마 k가 1부터 n까지일 때, a_k" 또는 "k가 1부터 n까지일 때, a_k의 합"이라고 읽어요.

"일반항이 a_n인 수열의 제5항부터 제10항까지의 합을 구하여라."를 간단히 아래처럼 나타낼 수 있겠죠?

다음을 ∑를 사용하여 나타내어라.
(1) 1 + 2 + 3 +  4 + … + 99 + 100
(2) 4 + 7 + 10 + … + 79 + 82

(1)은 자연수네요. 이 수열의 일반항은 a_n = n이에요. 1은 제1항이고 100은 제100항이죠? 그러니까 일반항이 n인 수열의 제1항부터 제100항까지 더하는 거네요.

(2)의 일반항을 구해보죠. d = a₂ - a₁ = 3, a₁ = 4이므로 a_n = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

마지막 항이 82인데, 이게 몇 번째 항인지 알아야겠죠?
3n + 1 = 82
n = 27

일반항이 3n + 1인 수열의 제1항부터 제27항까지의 합을 구하는 거네요.

괄호를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

∑가 사용된 식

이번에는 거꾸로 수열의 합을 나타내는 식을 보고 그 값을 구해보죠.

일단 문자는 k고, 일반항이 k에 대한 식이에요. 시작 항은 2고 마지막 항은 5죠. 일반항이 (k + 1)인 수열의 제2항부터 제5항까지 더하라는 거예요.

a_n: (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1), (4 + 1), (5 + 1), …, (n - 1 + 1), (n + 1)

a₂ ~ a₅까지 더하는 거니까 3 + 4 + 5 + 6 = 18이네요.

이처럼 수열을 쓰고 해당하는 항을 더할 수도 있지만, 더 쉽게 하려면 (k + 1)이라는 식의 k자리에 2부터 5까지 대입해서 얻은 항들을 더해서 바로 구할 수도 있어요.

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