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삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.

헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.

그래서 이 과정을 생략할 수 있게 나온 공식이 헤론의 공식입니다. 여기서는 헤론의 공식을 유도해보고 공식이 왜 좋은지 문제를 통해서 알아보죠.

헤론의 공식

세 변의 길이만 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 아래 과정을 거쳐야 해요.

1. 제2 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos을 구함
2. ①과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin을 구함
3. ②를 이용하여 넓이를 구함

①, ② 과정이 매우 복잡해요. 그래서 헤론이라는 사람이 공식으로 유도해 놓은 게 있는데 그걸 헤론의 공식이라고 해요.

이 공식을 유도하기에 앞서 전에 공부했던 두 가지 공식의 모양을 조금 바꿔놓고 시작하죠.

첫 번째는 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sinθ와 cosθ의 관계에요.

다음은 제2 코사인법칙의 모양을 바꿔보죠.

이제 헤론의 공식을 유도해보죠. 앞에 1, 2, 3은 줄번호예요.

1. 삼각함수 사이의 관계 변형
2. 우변 인수분해
3.  대입
4. 괄호 안 통분
5. 분자의 앞 세항을 인수분해
6. 인수분해
7. 우변 곱
8. 양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0

근호 안이 굉장히 복잡하죠? 여기를 간단히 해보죠. a + b + c = 2s라고 치환해볼까요?

a + b + c = 2s
a + b - c = (a + b + c) - 2c = 2s - 2c = 2(s - c)
a - b + c = (a + b + c) - 2b = 2s - 2b = 2(s - b)
-a + b + c = (a + b + c) - 2a = 2s - 2a = 2(s - a)

이제 이걸 근호 안에 대입해요.

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

되게 복잡한 과정을 거쳤더니 공식이 하나 유도되었네요.

헤론의 공식
△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때

세 변의 길이가 4, 5, 6인 삼각형의 넓이를 구하여라.

a = 4, b = 5, c = 6이라고 해보죠.

제2 코사인법칙에서
c² = a² + b² - 2abcosC
6² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cosC
36 = 16 + 25 - 40cosC
40cosC = 5
cosC =

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

정말 복잡하죠? 헤론의 공식에 넣어서 바로 구해보죠.

공식을 이용하니까 훨씬 쉽게 삼각형의 넓이를 구했네요.

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삼각함수의 정의에 대해서 알아봤는데요, 이번에는 삼각함수 사이의 관계에 대해서 알아보죠.

삼각함수는 sin, cos, tan 세 가지가 있고, 이들 사이에는 재미있는(?) 관계가 있어요. 삼각함수 사이의 관계를 그림과 식을 통해서 유도해보고, 그 결과를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

삼각함수 사이의 관계를 유도과정은 별로 어렵지 않으니까 금방 이해할 수 있어요. 관계가 2가지 나오는데 문제에 자주 나오니까 꼭 외워두세요.

삼각함수 사이의 관계

삼각함수의 정의를 공부할 때 사용했던 그림이에요.

이 그림에서 삼각함수 세 가지를 구할 수 있었죠?

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

sinθ를 cosθ로 나눠보죠.

위 그림에서 와 점 P에서 x축에 내린 점선, x축의 세 변으로 이루어진 삼각형은 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리의 정리에 의해 x² + y² = r²이 돼요. 이 성질을 이용해서 이번에는 sinθ와 cosθ를 제곱해서 더해보죠.

(sinθ)², (cosθ)², (tanθ)²를 sin²θ, cos²θ, tan²θ라고 써요. 따라서 위 내용을 간단히 정리하면 sin²θ + cos²θ = 1이라고 할 수 있죠.

삼각함수 사이의 관계

sin²θ + cos²θ = 1

θ가 제 2 사분면 위의 각이고 sinθ = 일 때, cosθ와 tanθ를 구하여라.

θ가 제 2 사분면 위의 각이니까 올 - 싸 - 탄 - 코에 의해서 sinθ만 양수이고, cosθ와 tanθ는 음수에요.

위 삼각함수 사이의 관계 두 번째를 이용해서 cosθ를 먼저 구해보죠.

sinθ와 cosθ를 알았으니 삼각함수 사이의 관계 첫 번째를 이용해서 tanθ를 구할 수 있어요.

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