사각형의 넓이
평행사변형의 넓이 공식, 사각형의 넓이 공식
삼각형의 넓이를 했으니까 사각형의 넓이 공식을 알아보죠.
사각형 중에서도 평행사변형과 대각선의 길이와 그 교각을 알려준 사각형의 넓이를 구하는 거예요. 공식이 있는데 새로운 공식을 공부하는 게 아니고 기존에 알고 있던 공식을 다룰 거예요. 특히, 중학교에서 공부했던 공식을 더 간단히 하는 거니까 어렵지 않아요.
공식을 간단히 하는 과정도 아주 간단해요. 공식의 유도는 중학교 때 이미 여기서는 어떻게 공식을 간단히 하는지 정말 간단히 알아보고 넘어가죠.
평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이
중학교 때 공부했던 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이와 고등학교에서 공부한 삼각형의 넓이 공식의 차이가 뭐였나요?
두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 △ABC의 넓이를 구할 때, 중학교에서는 θ의 크기에 따라 구하는 공식이 달랐어요.
고등학교에서는 θ < 90°일 때의 공식 하나만 있으면 θ의 크기와 상관없이 삼각형의 넓이를 구할 수 있었죠.
평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이도 똑같아요.
두 변의 길이와 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이를 구하는 공식이에요.
두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이 공식이에요.
이 공식이 만들어지는 과정은 사각형의 넓이 공식 - 삼각비의 활용에 나와 있으니까 참고하세요.
앞으로는 θ의 크기와 상관없이 θ < 90°일 때의 공식만 알고 있으면 평행사변형과 사각형의 넓이를 구할 수 있어요.
θ의 크기와 왜 상관이 없는지만 알면 되겠죠? 이유는 간단해요. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 sin(π - θ) = sinθ였잖아요.
absin(180° - θ) = absinθ
θ의 크기에 따라 공식에서 달라지는 건 sinθ와 sin(180° - θ)인데 이 둘이 같으니까 결국 공식 자체가 같아지는 거예요.
새로운 공식도 아니고 기존에 알고 있던 공식의 개수를 두 개에서 한 개로 줄였으니 조금 더 편해지겠죠?
- 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 삼각형의 넓이
- 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 θ인 평행사변형의 넓이
- 두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 θ인 사각형의 넓이
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사각형의 넓이 공식 - 삼각비의 활용
이제는 삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요
평행사변형의 넓이는 (밑변) × (높이)에요. 여기서는 밑변의 길이와 높이를 알져주지 않고 다른 조건들을 알려준 평행사변형의 넓이를 구하는 걸 해볼 거예요. 물론 삼각비를 이용해서요.
삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구할 때는 평행사변형의 성질을 이용합니다. 따라서 2학년 때 공부했던 평행사변형의 성질, 평행사변형과 넓이에 대해서 미리 읽어보세요.
사각형의 넓이는 삼각형의 넓이 공식 유도 방법과 비슷하니까 하나만 잘 해놓으면 두 개를 다 이해할 수 있어요.
평행사변형의 넓이
평행사변형의 넓이를 구할 때는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줍니다. 삼각형의 넓이를 구할 때도 이 두 가지를 알려줬었죠?
높이를 구하여 평행사변형의 넓이 구하기
삼각형의 넓이를 구할 때 크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지로 수선을 내려요. 점 A에서 변 BC에 수선을 내렸다고 해볼게요.
평행사변형 ABCD의 높이는 △ABH의 높이 즉, 
평행사변형의 높이를 알아냈으니 넓이를 구할 수 있겠죠?
그런데 ∠B가 아니라 ∠A를 가르쳐줬다면 어떻게 할까요? ∠A는 둔각이에요. 둔각의 삼각비는 모르니까 예각으로 바꿔야겠죠? 2학년 때 공부한 건데, 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 합은 180°라는 성질을 이용해요. 이 성질을 이용하면 ∠B = 180° - ∠A가 되니까 예각인 ∠B를 알 수 있어요.
평행사변형의 대변은 길이가 같으니까 
두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이
삼각형의 넓이를 이용하여 평행사변형의 넓이 구하기
높이를 구하지 않고 다른 방법으로 평행사변형의 넓이를 구해볼까요?
평행사변형에 대각선을 그어보세요. 삼각형 두 개로 나누어져요. 평행사변형과 넓이에서 대각선으로 나누어진 두 삼각형은 넓이가 같다는 걸 공부했어요. 그러니까 삼각형의 넓이를 구해서 두 배 해주면 되겠죠?
삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 x°인 삼각형의 넓이는 
똑같은 삼각형이 두 개 있으니까 두 배 해주면 돼요.
두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이
결국, 어떤 방법을 이용하던 결과는 같아요. 평행사변형의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식에 2를 곱해주면 됩니다.
다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, ∠A = 120°일 때 평행사변형 ABCD의 넓이를 구하여라.
두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 둔각이에요. 둔각일 때는 180°에서 빼서 예각을 만들어서 사용하면 돼요.
사각형의 넓이
이번에는 평행사변형이 아니라 그냥 막 생긴 사각형의 넓이에요. 여기서는 어떤 조건을 알려 주냐면 두 대각선의 길이와 대각선의 교각의 크기를 알려줘요.
이 사각형의 넓이를 구할 때는 그냥 구할 수 없어요. 우리가 알고 있는 사각형으로 변신을 시켜야 해요. 어떤 사각형이냐면 바로 위에서 했던 평행사변형으로 변신시키는 거죠.
위 사각형에서 대각선 
총 네 개의 평행선을 긋는데, 이 평행선들이 만나서 사각형이 생기죠? 이 사각형을 □EFGH라고 할게요. 이 □EFGH은 
□AEFC는 평행사변형 →
□HEBD도 평행사변형 →
그 속의 작은 사각형들도 모두 평행사변형 → ∠AEB = x°
작은 평행사변형 네 개가 생기는데, 모두 대각선으로 나누어져 있죠? 각각의 작은 평행사변형을 둘로 나눈 삼각형 네 개를 붙여놓은 게 처음에 넓이를 구하려고 했던 □ABCD에요. 작은 삼각형은 작은 평행사변형의 넓이의 절반이므로(평행사변형과 넓이) □ABCD의 넓이는 □EFGH의 넓이의 절반인 걸 알 수 있어요.
□EFGH는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으니까 공식으로 구할 수 있고, 이걸 2로 나눈 게 □ABCD의 넓이에요.
여기서도 마찬가지로 두 대각선의 교각이 둔각이면 180° - x°를 해서 예각을 만들어야 해요.
두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이
다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, x° = 60°일 때 □ABCD의 넓이를 구하여라.
두 대각선의 길이와 교각의 크기를 알려줬어요. 이 교각이 예각이죠. 따라서 공식에 대입해보면
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