부등호
부등호의 사용, 이상, 이하
부등호는 두 수 또는 식의 대소관계, 크기 비교를 할 때 사용하는 수학기호예요. <, >는 다 알고 있죠? 이 두 가지 말고 새로운 기호를 기호와 이 기호가 뜻하는 걸 배울 거예요.
초과, 미만이라는 단어의 뜻 알고 있나요? 초과는 어떤 기준보다 큰 거예요. 대신에 기준이 되는 숫자는 포함하지 않는 거죠. 미만은 반대로 기준보다 작은 거예요. 이때도 기준은 포함되지 않아요. 초과를 >, 미만은 <로 쓰죠.
이 글에서 새로 배울 부등호는 이상, 이하에 해당하는 부등호에요.
초과와 이상, 미만과 이하의 차이를 잘 구별할 수 있도록 하세요.
부등호의 사용
이상은 기준보다 큰 걸 말해요. 그런데 초과와 달리 기준과 같아도 상관없어요. 같아도 되고, 커도 되는 경우죠. 같은 건 기호로 "="라고 쓰고, 큰 건 ">"로 쓰잖아요. 이상은 둘 다를 포함해요. 그래서 기호도 두 가지를 합쳐서 써요. 
"=" + ">" →
이하는 기준이 되는 수와 같거나 그 보다 작은 경우죠. 같다는 기호 "="와 작다는 기호 "<"를 합쳐서 
"=" + "< →
이상은 뭐라고 했죠? 크거나 같은 거예요. 그럼 작지는 않죠? 그래서 "크거나 같다"를 다른 말로 "작지 않다."라고 해요. 이하는 어떤가요? 같거나 작은 거예요. 그럼 크지 않죠. 그래서 "작거나 같다."는 "크지 않다."라는 말과 같은 뜻이에요.
| > | 크다 | 초과 | a > 4 |
| < | 작다 | 미만 | a < 4 |
| ≥ | 크거나 같다. 작지 않다. |
이상 | a ≥ 4 |
| ≤ | 작거나 같다. 크지 않다 |
이하 | a ≤ 4 |
"크지 않다"와 "작지 않다"에 주의하세요. 실제로 문제에서는 이상, 이하, 미만, 초과라는 단어는 잘 쓰지 않아요. 크다. 작다, 크거나 같다, 작지 않다 라는 말을 많이 쓰죠.
다음 문장을 부등호를 사용하여 나타내어라.
(1) 0은 음의 정수보다 크고, 양의 정수보다 작다
(2) x는 2보다 크고, 4보다 크지 않다.
(1)은 정수의 대소관계에서 했던 거네요. 0은 음의 정수보다 크다고 했으니까 0 > 음의 정수라고 써야겠네요. 그리고 0은 양의 정수보다 작다고 했으니까 0 < 양의 정수라고 써야겠고요. 이 둘을 하나로 합치면 음의 정수 < 0 < 양의 정수가 되겠네요.
(2) x는 2보다 크다고 했으니까 x > 2에요. 그런데 x는 4보다 크지 않다고 했어요. 크지 않은 건 작거나 같은 거예요. 따라서 x ≤ 4죠. 이 둘을 하나로 합하면 2 < x ≤ 4가 되네요.
부등식, 부등식의 뜻
이제부터 부등식에 대해서 공부할 거예요.
부등식을 공부하기 전에 먼저 1학년 때 공부했던 등식을 한 번 짚고 넘어갈게요.
등식이라는 건 등호(=)를 가운데 두고, 등호 양쪽에 숫자와 식을 써서 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이죠.
부등식은 등호 대신에 부등호 (>, <, ≥, ≤)를 가운데 두고 양쪽에 숫자와 식을 써서 크기를 비교하는 식이에요. 부등호의 사용에 대해서는 1학년 때 아주 잠깐 공부했었어요.
등식에서 등호 왼쪽에 있는 숫자와 식을 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 식을 우변이라고 해요. 부등식에서 똑같이 부등호의 왼쪽에 있는 식과 문자를 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 숫자와 식을 우변이라고 해요. 또 좌변과 우변을 한꺼번에 양변이라고 불러요.
| 등식 | 부등식 |
|---|---|
| = | > < ≥ ≤ |
| 서로 같다 | 크다, 작다, 크거나 같다, 작거나 같다. |
| 2 = 2 | 3 > 2 |
| x = 2 | x > 2 |
| x + 4 = 2 | x + 4 > 2 |
부등식의 표현
등식은 크기가 같은 것만 있어서 표현하기가 쉬워요. 하지만 부등호는 네 가지나 있으니까 그 각각의 부등호가 나타내는 뜻을 정확히 이해하는 게 중요해요.
| 표현 | A 기준 | B 기준 |
|---|---|---|
| A < B | A는 B보다 작다 A는 B 미만 |
B는 A보다 크다 B는 A 초과 |
| A > B | A는 B보다 크다 A는 B 초과 |
B는 A보다 작다 B는 A 미만 |
| A ≤ B | A는 B보다 작거나 같다 A는 B 이하 A는 B보다 크지 않다. |
B는 A보다 크거나 같다 B는 A 이상 B는 A보다 작지 않다 |
| A ≥ B | A는 B보다 크거나 같다 A는 B 이상 A는 B보다 작지 않다. |
B는 A보다 작거나 같다 B는 A 이하 B는 A보다 크지 않다 |
특히 "크지 않다"와 "작지 않다"에 주의하세요.
다음을 부등식으로 나타내시오.
(1) 어떤 수의 3배는 10보다 작다.
(2) 어떤 수의 7배에 2를 더한 것은 30보다 크지 않다
(1)에서 어떤 수를 모르니까 x라고 하면 어떤 수의 3배는 3x라고 할 수 있어요. 3x가 10보다 작으니까 부등호는 <를 사용해야겠네요. 그래서 답은 3x < 10이군요.
(2)는 마찬가지로 어떤 수의 7배니까 7x, 여기에 2를 더하면 7x + 2에요. 그런데 크지 않다는 건 뭘 뜻하죠? 작거나 같은 거예요. 그래서 부등호는 ≤를 써야겠죠. 7x + 2 ≤ 30이 되겠네요.
부등식의 참, 거짓
예를 들어서 3 > 2라는 부등식이 있어요. 이 부등식에서 좌변과 우변의 크기비교가 제대로 되었다면 이 부등식은 참이에요. 이 부등식은 참이네요.
그럼 3 ≥ 2라는 부등식은 어떨까요? 역시 참이네요.
3 < 2라는 부등식을 보죠. 3은 2보다 큰데 부등호는 "작다"를 나타내는 <가 쓰여 있네요. 부등식은 틀렸어요. 그래서 이때는 거짓이라고 해요.
부등식의 해
부등식의 해는 방정식의 해처럼 부등식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요.
부등식을 푼다는 말은 부등식이 참이 되게 하는 값, 즉 해를 구한다는 뜻이고요. 방정식에서도 사용했던 용어들이니 어렵지는 않죠?
부등식 x - 4 < 2 의 해를 모두 구하여라. (단, x는 자연수)
x가 자연수라고 했으니 x = 1부터 식에 대입해 보죠.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 식 | -3 < 2 | -2 < 2 | -1 < 2 | 0 < 2 | 1 < 2 | 2 < 2 | 3 < 2 |
| 참/거짓 | 참 | 참 | 참 | 참 | 참 | 거짓 | 거짓 |
위 표에서 보면 1 ~ 5까지는 부등식이 참이고, 6보다 크면 거짓이니까 이 부등식의 해는 x = 1 또는 x = 2 또는 x = 3 또는 x = 4 또는 x = 5네요.
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