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순열과 조합의 차이에 대해서 이해했나요? 순열과 조합은 둘 다 서로 다른 n개에서 r개를 고르는 경우의 수를 말해요. 순열은 r개를 택할 때 순서대로 택하는 거고, 조합은 순서와 관계없이 그냥 택하는 거죠.

이 글에서는 조합에서 고르는 개수가 특수한 경우 즉, r = n일 때와 r = 0일 때의 값을 구해볼 거예요. 그리고 조합을 나타내는 식 _nC_r을 다른 식으로 표현해볼 거고요.

약간의 증명과 유도가 필요하니까 잘 보세요.

순열과 조합 - 조합의 성질

순열과 조합 - 조합이란에서 이었어요. 모양을 한 번 바꿔볼까요?

세 개의 계승을 이용해서 _nC_r을 표현할 수 있어요.

r = n일 때는 어떻게 되는지 한 번 보죠.

팩토리얼(factorial), 계승에서 0! = 1 이었어요.

_nC_n = 1인 걸 알 수 있네요.

이번에는 r = 0일 때를 보죠.

_nC₀ = 1로 정의할 수 있어요.

서로 다른 n개에서 r개를 고르는 조합의 수는
 (단, 0 ≤ r ≤ n)
_nC_n = _nC₀ = 1

그리고 아래 네 가지는 헷갈릴 수 있으니까 따로 정리하죠.

_nP_n = n!
_nP₀ = 1
_nC_n = 1
_nC₀ = 1

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순열 두 번째 시간이에요. 새로운 용어와 기호를 공부할 거예요. 계승과 팩토리얼(factorial)이라는 용어인데 계승과 팩토리얼이 무엇을 의미하는지 기호로 어떻게 나타내는지를 잘 기억해두세요.

순열의 한 부분이니까 내용은 새로울 게 없어요. 그냥 가벼운 마음으로 간단하게 죽 한 번 읽고 넘어가세요.

팩토리얼(factorial)

순열과 조합 - 순열이란에서 순열은 n개의 항목 중에서 r개를 선택하여 줄을 세우는 거고 식으로 쓰면 _nP_r이라고 했어요. 마지막 예제문제에서 ₆P₆ 계산을 했는데 이걸 조금 더 간단히 표현할 수 있어요.

순열 _nP_r에서 r = n이면 _nP_n이 되는데 이걸 식으로 써보죠.

_nP_n = n(n - 1)(n - 2) … 3 · 2 · 1

거꾸로 보면 1부터 n까지 곱하게 되는데 이를 n계승이라고 하고 기호로 n!로 나타내요. 그리고 n 팩토리얼(factorial)이라고 읽어요.

n! = _nP_n = 1 · 2 · 3 ··· (n - 2)(n - 1)n

1! = 1
2! = 1 × 2
3! = 1 × 2 × 3
4! = 1 × 2 × 3 × 4

순열 _nP_r을 계승으로 나타내보죠.

만약에 r = n이면 식이 어떻게 될까요?

위 식에 따라서 0! = 1로 정의해요.

만약 r = 0이면 어떻게 되는지 보죠.

nP0 = 1이라는 걸 알 수 있어요.

계승, 팩토리얼
n! = _nP_n = 1 · 2 · 3 ··· (n - 2)(n - 1)n
(0 ≤ r ≤ n)
0! = 1
_nP₀ = 1

문과, 이과 구분법이라는 이름으로 인터넷에 떠도는 유머(?)인데요. 이 글을 제대로 이해한 학생이라면 이 구분법의 의미를 알 수 있겠죠?

40 - 32 ÷ 2의 답은 24에요.

초등학생은 4!라고 대답했고 초등학생의 답을 본 이과생과 문과생의 반응이에요.

이과생은 4!를 4 팩토리얼로 이해했고 문과생은 4 느낌표로 봤다 뭐 이런 개그지요.

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