수학방

이제 중1 수학도 막바지에 다랐어요. 얼마 남지 않았으니까 조금 더 힘내세요.

이번 글에서는 각뿔과 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해서 알아볼 거예요.

각뿔과 원뿔의 겉넓이는 각기둥과 원기둥의 겉넓이, 부피, 부채꼴의 넓이 구하는 공식 등에 대해서 알고 있어야 이해할 수 있어요.

혹시 잘 기억이 안 난다면 원기둥의 부피와 겉넓이, 각기둥의 부피와 겉넓이와 부채꼴 넓이를 얼른 보고 오세요.

각뿔의 겉넓이와 부피

각기둥의 겉넓이를 구할 때 전개도로 펼쳐서 구했어요. 그리고 (밑면의 넓이) + (옆면의 넓이)로 구했고요. 각뿔도 마찬가지예요.

각뿔이 각기둥과 다른 점은 밑면이 한 개뿐이고, 옆면은 모두 삼각형이라는 거예요.

밑면은 각뿔의 형태에 따라 다르지만 다각형의 넓이 구하는 방법으로 구할 수 있잖아요.

각기둥에서는 옆면이 직사각형이라서 하나의 큰 직사각형으로 구할 수 있었는데, 각뿔에서는 옆면이 삼각형인 데다 삼각형의 넓이도 제각각이어서 하나씩 구해서 다 더해줘야 하는 불편함이 있어요. 하지만 실제 문제에서는 옆면이 이등변삼각형으로 합동인 경우가 많으니까 하나 구해서 × 4하면 돼요.

주의해야 할 게 있는데, 각뿔의 높이와 옆면인 삼각형의 높이를 잘 구별하세요.

각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 각기둥의 부피의 이니까 각기둥의 부피에 을 곱해서 구해요.

각뿔의 높이가 h일 때
각뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이)
각뿔의 부피 =   × (밑넓이) × (높이) = Sh

원뿔의 겉넓이와 원뿔의 부피

원뿔을 전개도로 펼쳐보면 아래 그림처럼 부채꼴인 옆면 한 개와 원인 밑면 한 개로 되어 있어요.

원뿔의 넓이도 (밑넓이) + (옆넓이)니까 (원의 넓이) + (부채꼴의 넓이)하면 되겠지요.

밑면은 반지름이 r인 원이니까 넓이는 πr²이에요.

옆넓이인 부채꼴 넓이는 중심각의 크기를 알 때와 부채꼴 호의 길이를 알 때 두 가지 방법으로 구할 수 있는데, 여기서는 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식으로 부채꼴의 넓이를 구합니다.

부채꼴의 넓이 = rl

여기서 r은 부채꼴의 반지름, l은 부채꼴 호의 길이를 말해요. 위 전개도에 나온 r, l과 서로 다른 r, l이죠. 이 부분을 주의하세요.

부채꼴의 반지름은 모선의 길이 l이에요. 부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같아요. 밑면의 반지름이 r이라면 부채꼴 호의 길이는 2πr이죠. 공식에 대입해서 옆면인 부채꼴의 넓이를 구하면 × l × 2πr = πrl이 나와요.

각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 이라고 했지요? 원뿔의 부피도 밑면의 반지름과 높이가 같은 원기둥의 부피의 이에요.

원기둥의 부피는 πr²h였으니까 여기에 을 곱해서 구할 수 있어요.

밑면의 반지름이 r, 높이가 h, 모선의 길이가 l일 때
원뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = πr² + πrl
원뿔의 부피 =  × (밑넓이) × (높이) = πr²h

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이제는 평면도형이 아니라 입체도형이에요.

지금까지는 점, 선, 면, 다각형, 원, 부채꼴 등에 대해서 알아봤잖아요.

이제는 각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔처럼 입체도형을 배울 거예요.

입체도형 중에서 첫 번째는 다면체에요. 초등학교에서 배웠던 각기둥, 각뿔이 바로 대표적인 다면체죠.

다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 말해요. 다각형으로 둘러싸여 있어야 하니까 삼각기둥, 사각기둥, 삼각뿔, 사각뿔 등이 있지요.

원기둥과 원뿔도 다면체일까요? 원기둥과 원뿔의 밑면은 원이잖아요. 다각형이 아니죠? 그래서 원뿔과 원기둥은 다면체가 아니에요.

주의하세요. 다면체는 단순히 면이 여러 개 있는 도형이 아니라 다각형인 면이 여러 개 있는 도형이에요.

다면체에 사용하는 용어들은 꼭짓점, 모서리, 면이 있어요. 이거 다 해봤던 거죠? 그래도 한 번 정리해보고 넘어가죠.

면은 다면체를 이루고 있는 다각형이에요. 모서리는 면과 면이 만나는 곳으로 다각형의 변이고요. 꼭짓점은 모서리와 모서리가 만나는 곳이죠.

다면체의 분류

다면체는 두 가지 방법으로 분류해요.

첫 번째는 다면체의 면의 개수에 따라서 나누는 방법이 있어요. 다면체의 면이 4개이면 사면체, 5개면 오면체, 6개면 육면체, … 처럼이요. 다각형에서 각의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형으로 나누는 것과 마찬가지예요.

두 번째는 모양에 따라 나눠요. 우리가 알고 있는 각기둥, 각뿔 등으로 나누는 방법이죠.

각뿔대

각기둥과 각뿔 말고 각뿔대라는 게 있어요.

각뿔을 가로로 잘랐다고 생각해보세요. 그러니까 각뿔의 밑면과 평행한 평면으로 자르면 두 부분으로 나뉘겠죠? 윗부분은 그대로 각뿔이 될 거예요. 아랫부분은 각뿔도 아니고 각기둥도 아닌 게 되겠죠? 이 아랫부분을 각뿔대라고 불러요.

각뿔대에서도 각기둥과 마찬가지로 밑면, 옆면, 높이라는 용어를 사용해요. 각기둥과 각뿔대에서 사용하는 용어의 설명과 특징을 표로 정리해봤어요.

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