방정식 잘 푸는 방법 - 식의 변화를 이해하라.

보통 한 단원을 공부할 때는 앞에서 공부하지 않았던 새로운 내용을 공부해요. 그런데 그게 완전히 생뚱맞게 새로운 내용은 아니에요. 앞에서 공부했던 것에 조금 추가하는 거지요. 그런데 많은 학생은 그 연관관계를 이해는 걸 상당히 어려워하죠.

이 글에서는 방정식이라는 식이 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요. 그러면 그 식의 관계에 대해서 더 잘 이해할 수 있고, 문제를 풀거나 내용을 이해하는 데 훨씬 더 도움이 되지요. 아주 중요한 내용입니다. 꼭 읽어보세요.

방정식의 변화

공부하는 식의 종류에는 여러 가지가 있어요. 방정식, 부등식, 함수 등이 있죠.

방정식을 어떤 순서로 공부했나요? 중학교 1학년 때는 일차방정식, 2학년 때는 연립방정식, 3학년 때는 이차방정식, 고등학교 1학년 때는 삼차, 사차 등의 고차방정식과 연립이차방정식을 공부해요.

학년이 올라갈수록 차수가 늘어나거나 식의 개수가 늘어나죠. 그래서 문제를 푸는 방법도 어려워져요. 그런데 이게 단순히 똑같은 범주의 방정식인 건만은 아니에요.

일차방정식을 하나 풀어보죠.

5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

등식의 성질을 이용해서 일차방정식을 풀었어요.

이번에는 연립방정식을 풀어보죠.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 하면,

①식 + ②식
2x = 8
x = 4

①식 - ②식
2y = 2
y = 1

두 식을 더했더니 2x = 8이라는 식이 나왔죠? 이 식은 이 식은 미지수가 x뿐인 일차방정식이에요. 미지수가 2개인 연립방정식의 두 식을 더했더니 미지수가 1개인 일차방정식으로 식이 바뀌었어요.

두 식을 빼면 2y = 2라는 y에 대한 일차방정식이 나와요. 마찬가지로 미지수가 2개인 연립방정식이 미지수가 1개인 일차방정식으로 바뀌었죠.

두 식을 더하거나 빼서 연립방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 연립방정식 풀이의 핵심이에요.

이차방정식도 풀어보죠.

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 → x = 2
x - 3 = 0 → x = 3

x² - 5x + 6 = 0를 인수분해하면 (x - 2)(x - 3) = 0인데, 좌변이 일차식 두 개의 곱으로 되어 있어요. 이 일차식은 일차방정식이고, 여기서 미지수 x의 값을 구했어요.

이차방정식을 인수분해하니까 일차방정식 2개 되었죠? 차수가 2차에서 1차로 낮아졌어요.

인수분해해서 이차방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 이차방정식 문제 푸는 방법이죠. 근의 공식을 이용하는 건 제외로 하고요.

고차방정식과 연립이차방정식은 예시는 생략하죠. 삼차, 사차의 고차방정식도 인수분해를 하죠? 그러면 삼차방정식이 이차방정식이 되고, 이 이차방정식은 다시 바로 위에서 했던 것처럼 인수분해해서 일차방정식 2개로 바꾸는 거죠. 결국, 삼차방정식은 일차방정식 3개로 바꿔서 풀어요.

• 일차방정식은 그대로 풀고요.
• 연립방정식은 식을 더하고 빼서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 이차방정식은 인수분해를 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 삼차방정식은 인수분해해서 이차방정식으로 모양을 바꾸고, 이 이차방정식은 인수분해를 한 번 더 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 사차, 오차도 계속 이런 식으로 풀죠.

우리가 문제를 푸는 건 그냥 이차방정식을 풀고, 연립방정식을 푸는 게 아니라 식의 형태를 우리가 기존에 알고 있는 식(일차방정식)으로 바꾸는 거예요.

연립방정식에서 두 식을 더하고 빼는 건 일차방정식으로 바꾸기 위해서예요. 이차방정식에서 인수분해를 하는 이유는 바로 인수분해를 해야 일차방정식으로 모양을 바꿀 수 있기 때문이죠. 인수분해를 왜 해야 하는지, 연립방정식의 두 식을 왜 더하고 빼야 하는지 이유를 알겠죠?

즉, 그 단원에서 실제로 공부하는 건 일차방정식으로 바꾸는 방법뿐이에요. 그 이후 과정인 일차방정식을 푸는 건 이미 알고 있는 거고요.

그러니까 방정식을 푸는 건 기본적으로 일차방정식의 풀이법 + 일차방정식으로 변환법이에요.

이곳 수학방에서 공부를 했던 분이라면 글 중간마다 차수가 낮아지고 미지수가 줄어드는 걸 설명한 부분이 꽤 많다는 걸 아실 거예요. 바로 일차방정식으로의 변환법을 다른 말로 하면 미지수의 개수와 식의 차수를 낮추는 방법이거든요.

일차방정식 따로 이차방정식 따로 있는게 아니라 그들의 관계를 이해하고 식이 어떻게 바뀌는지 이해하면 공부하는게 훨씬 더 쉬워질 거예요.

물론 이건 방정식에만 적용되는 건 아닙니다. 함수에도 다른 식에도 적용되는 거에요.

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