로그의 성질, 로그의 성질 증명
로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.
로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.
로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.
로그의 성질
a0 = 1, a1 = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.
a0 = 1 ⇔ loga1 = 0
a1 = a ⇔ logaa = 1
진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.
ax = M, ay = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.
ax = M ⇔ logaM = x …… ①
ay = N ⇔ logaN = y …… ②
이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.
ax × ay = ax + y = MN ⇔ logaMN = x + y
①, ②에서 logaM = x, logaN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
logaMN = logaM + logaN
이번에는 ax = M을 ay = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.
ax ÷ ay = ax - y = 
①, ②에서 logaM = x, logaN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.
이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.
ax = M = Lk이라고 해보죠.
ax = M ⇔ logaM = x
ax = Lk ⇔ logaLk = x …… ③
③에서 logaLk = x니까 위 식의 x에 대입하면 logaLk = klogaL이 성립해요.
진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.
로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.
아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.
로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때
다음을 간단히 하여라.
(1) log22 + log24 + log28
(2)
(3)
(1) log22 + log24 + log28
= 1 + log222 + log223
= 1 + 2log22 + 3log22
= 1 + 2 + 3
= 6
하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.
log22 + log24 + log28
= log2(2 × 4 × 8)
= log226
= 6log22
= 6
(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.
log32는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.
(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.
log42는 (2)번의 log32와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.
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