삼각형의 넓이 공식, 삼각형 넓이 공식 증명

삼각형의 넓이는중3 때 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 그 공식을 유도도 해봤고 문제도 풀어봤어요. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구했었죠. 다만 그 끼인각의 크기가 예각/직각일 때의 공식과 둔각일 때의 공식이 서로 달라서 두 가지를 다 외워야 했었죠.

삼각비를 이용해서 공식을 유도했는데 그때는 0° ~ 90°만 공부해서 둔각일 때는 예각으로 바꾸는 과정이 필요해서 둘로 나눴던 거예요. 이제는 일반각도 공부했으니 각의 크기를 제한할 필요가 없어요. 조금 더 세련된(?) 방법으로 삼각형의 넓이 공식을 외워보죠.

삼각형의 넓이 공식 유도

공식의 유도 방법은 바뀌지 않았어요. 그대로예요.

삼각형의 한 각을 기준으로 하고 기준각의 크기를 예각, 직각, 둔각으로 바꿔가면서 삼각형의 넓이 공식을 유도할 거예요. 사인법칙, 코사인법칙을 유도할 때도 다 같은 방법을 이용했었죠?

△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

삼각형의 넓이 공식 유도 - 예각일 때

첫 번째 c가 예각일 때에요.

A에서 에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

 = a

△ACH에서

삼각형의 넓이 공식 유도 - 직각일 때

이번에는 C가 직각일 때에요.

C가 직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없어요.

 = a

sinC = sin90° = 1

삼각형의 넓이 공식 유도 - 둔각일 때

C가 둔각일 때에요.

 = a

△ACH에서

세 경우를 통해서 C의 크기와 상관없이 가 성립하는 걸 알 수 있어요. C가 아니라 A, B의 각을 바꿔가면서 같은 방법으로 증명하면 다음과 같은 삼각형의 넓이 공식을 얻을 수 있어요.

△ABC에서 세 각의 대변을 a, b, c, 넓이를 S라고 하면

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있어요. 끼인각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 공식 하나로 모든 걸 다 해결할 수 있어요. 중학교에서 했던 것보다 훨씬 간단해졌지요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 삼각형의 넓이는 에요.

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[중등수학/중3 수학] - 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이

정리해볼까요

삼각형의 넓이: △ABC에서 세 각의 대변을 a, b, c, 넓이를 S라고 하면

• 두 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때
  

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