인수분해의 활용

중등수학/중3 수학

인수분해의 활용 - 수의 계산, 식의 값

수학방 2013. 2. 7. 12:30

인수분해 마지막 인수분해의 활용이에요. 인수분해 공식 다섯 개를 외우고 문제도 풀어봤는데, 이제는 인수분해를 이용해서 다른 계산을 편리하게 하는 방법을 알아볼 거예요.

인수분해 공식을 마지막으로 정리해보죠. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2 - 이차식

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

인수분해의 활용 - 수의 계산

2013² - 2012²을 구해봐요. 2013²를 계산기 없이 계산할 수 있을까요? 뭐 종이에 직접 계산해보면 구할 수는 있겠죠? 그런데 인수분해 공식을 활용하면 그런 귀찮은 과정도 계산기도 없이 계산할 수 있어요. 모양이 어떻게 생겼나요? (제곱 - 제곱) 꼴이잖아요. 이거 인수분해 공식에서 봤던 거죠? a² - b² = (a + b)(a - b)

2013² - 2012²
= (2013 + 2012)(2013 - 2012)
= 4025

실제로 계산기로 계산해 봐도 4025가 나와요. 계산기가 없으면 못 할 것 같았던 계산도 인수분해 공식을 활용했더니 계산할 수 있게 되었어요.

24 × 20 - 24 × 15를 해볼까요? 물론 값을 구해서 실제로 뺄셈을 하면 구할 수는 있겠죠? 하지만 인수분해 공식을 이용하면 더 쉽게 풀 수 있어요. 두 항에 모두 24라는 공통인수가 보이네요. 묶어보죠.
24 × 20 - 24 × 15
= 24 × (20 - 15)
= 24 × 5
= 120

인수분해 공식을 활용하면 훨씬 쉽죠?

인수분해를 활용한 수의 계산: 인수분해 공식을 사용하여 식을 간단히 하여 계산

인수분해의 활용 - 식의 값

이번에는 어떤 문자의 값을 알려주고, 그 문자가 들어있는 어떤 식을 계산한 결과를 계산해보죠.

x = 13일 때 x + 4 라는 식의 값은 x = 13을 대입해서 13 + 4 = 17로 구해요. 그러면 x = 13일 때 x² - 15x + 56을 구할 때도 x = 13을 대입해서 구해야 할까요?

x² - 15x + 56
= 13² - 15 × 13 + 56
= 169 - 196 + 56
= 30

x² - 15x + 56
= (x - 7)(x - 8)
= (13 - 7)(13 - 8)
= 30

x = 13을 바로 대입하는 것보다 식을 인수분해한 다음에 대입하는 것이 훨씬 쉽죠?

식의 값을 구할 때는 인수분해를 통해서 식을 간단히 한 다음에 문자의 값을 대입해서 푸세요. 이건 인수분해뿐 아니라 모든 식에서 사용하는 공통된 방법입니다.

일 때, x² - 8x + 10의 값을 구해보죠.

이번에도 마찬가지로 식을 먼저 간단하게 정리한 후에 x를 대입해야 해요. 그런데, x² - 8x + 10은 어떻게 해도 인수분해가 되지 않아요. 더는 간단하게 할 수 없다는 뜻이죠. 그렇다고 x값을 바로 대입하려면 계산이 너무 복잡해요. 이럴 때는 x를 변형합니다.

x에서 유리수 부분을 좌변으로 이항하고 양변을 제곱했더니 무리수 부분이 없어졌어요.

등식의 성질을 이용해서 좌변을 문제에서 요구하는 식으로 모양을 바꿀 수 있죠?
x² - 8x + 16 = 3
x² - 8x + 16 - 6 = 3 - 6
x² - 8x + 10 = -3

인수분해 공식을 활용하여 식의 값 구하기
식을 최대한 간단하게 정리 후 문자의 값을 대입
식이 간단하게 되지 않을 때는 문자의 값을 변형

x = 3 + , y = -4 - 일 때 다음을 구하여라.
(1) x² - y²
(2) x² - 6x + 9
(3) y² + 8y + 14

어떤 문자의 값이 주어지고, 해당 문자를 포함한 식의 값을 물어볼 때는 식을 간단히 해서 문자의 값을 대입하거나 문자의 값을 식과 같은 모양으로 변형해서 구해요.

(1) 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 식을 간단히 할 수 있겠네요. 식을 간단히 한 후에 값을 대입해보죠.
x² - y²
= (x + y)(x - y)
= (3 + - 4 - ){3 + - (-4 - )}
= (-1)(7 + 2)
= -7 - 2

(2)도 인수분해 공식 - 완전제곱식을 이용해서 식을 간단히 할 수 있으니까 정리 후에 x를 대입하죠.
x² - 6x + 9
= (x - 3)²
= (3 + - 3)²
= ()²
= 3

(3)은 인수분해 공식으로 간단히 정리되지 않아요. 그래서 y에 관한 식을 정리해서 문제와 똑같이 만들어줘야 해요.
y = -4 -
y + 4 = -
(y + 4)² = (-)²
y² + 8y + 16 = 3
y² + 8y + 16 - 2 = 3 - 2
y² + 8y + 14 = 1

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