지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱

1학년 때 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기를 공부했었죠? 내용이 기억나나요? 똑같은 수를 여러 번 곱할 때, 거듭제곱을 이용해서 나타낸다고 했지요? 거듭제곱에서 곱해지는 수를 보통 크기로 쓰고, 곱하는 횟수는 오른쪽 위에 작게 쓰기로 했어요. 이때, 아래에 있는 걸 밑, 오른쪽 위에 작게 쓰여진 걸 지수라고 했지요.

지수법칙에서 지수는 바로 거듭제곱에서의 지수를 말해요.

지수법칙은 거듭제곱에서 지수를 계산하는 법칙인데, 얼마나 중요하면 이름이 공식도 아니고 법칙이겠어요. 꼭 외워야겠죠?

지수법칙

지수법칙 1 - 거듭제곱의 곱

2³ × 2⁵을 계산해볼까요? 거듭제곱으로 쓰여있는 걸 곱하기로 풀어서 계산한 다음 다시 거듭제곱으로 써 보죠.

2³ × 2⁵
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 2⁸

가운데 지수를 풀어쓴 부분을 제외하면 2³ × 2⁵ = 2⁸이 돼요. 지수만 보죠. 두 지수 3과 5를 더하면 8이죠? 이게 지수법칙의 첫 번째 입니다. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 더해주는 거죠.

위 지수법칙이 성립하려면 조건이 있어요. 밑이 같아야 하고, 두 거듭제곱이 곱셈이어야 해요. 밑이 다르거나 곱셈이 아니면 성립하지 않아요.

밑은 같지만, 곱셈이 아니라 덧셈인 경우를 보죠.

2³ + 2⁵
= (2 × 2 × 2) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 8 + 32
= 40
= 2³ × 5

2⁸ = 256 ≠ 2³ + 2⁵에요.

곱셈이지만 밑이 다르면 어떻게 되는지 볼까요?

2³ × 3²
= (2 × 2 × 2) × (3 × 3)
= 8 × 9
= 72

2³ × 3²에서 지수는 더하라고 했으니까 3 + 2 = 5이고, 밑은 그대로인데, 2와 3 두 개 중 어떤 걸 쓸까 고민하다가 2 × 3 = 6이니까 6으로 해서 6⁵으로 쓰는 경우가 많이 있어요. 이렇게 하면 절대로 안 돼요.

다시 정리할게요. 첫 번째 지수법칙이 성립하려면 밑이 같고, 거듭제곱의 곱셈이어야 해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (-1)² × (-1)³
(2) a² × a³ × a⁴
(3) a³ × b² × a⁵ × b⁴

밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 더해주는 거예요.

(1) (-1)² × (-1)³ = (-1)^{2 + 3} = (-1)⁵ = -1

(2)는 항이 세 개인데, 세 개 다 밑이 같고 곱셈이므로 지수법칙을 한꺼번에 적용할 수 있어요.
a² × a³ × a⁴ = a^{2 + 3 + 4} = a⁹

(3)은 밑이 a와 b가 섞여 있죠? a, b를 따로 계산해야 해요.
a³ × b² × a⁵ × b⁴
= a³ × a⁵ × b² × b⁴
= a^{3 + 5} × b^{2 + 4}
= a⁸ × b⁶
= a⁸b⁶
밑이 다르므로 더 이상 계산할 수 없고, 곱셈기호만 생략할 수 있어요.

지수법칙 두 번째 - 거듭제곱의 거듭제곱

지수법칙 두 번째는 거듭제곱의 거듭제곱이에요.

(2³)²를 해보죠. 2³을 통째로 하나의 문자라고 생각해보세요. (2³)²는 2³를 두 번 곱하는 거죠?

(2³)²
= (2³) × (2³)
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 2⁶

처음하고 끝줄만 볼까요? (2³)² = 2⁶에서 지수 2와 지수 3을 곱하면 6이 되죠?

바로 지수법칙 두 번째에요. 거듭제곱의 거듭제곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 곱해주는 거예요.

여기는 별다른 조건이 없어요. 그냥 계산하면 돼요.

곱셈에서는 교환법칙이 성립하죠? 그래서 지수 m, n의 자리를 바꿔서 계산한 (a^m)ⁿ = a^mn = a^nm = (aⁿ)^m가 성립해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (x³)⁴
(2) (a²)³ × (a³)³
(3) (a²)³ × (b³)²

거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑을 그대로 쓰고, 지수를 곱해줘요.

(1) (x³)⁴ = x^{3 × 4} = x¹²

(2)는 (거듭제곱의 거듭제곱) 두 개가 곱해져 있어요. 지수법칙 첫 번째와 두 번째가 섞여있는 거죠. 두 번째 지수법칙을 먼저 적용한 다음 첫 번째 지수법칙을 이용해서 계산해야 합니다.
(a²)³ × (a³)³
= (a^{2 × 3}) × (a^{3 × 3})
= a⁶ × a⁹
= a^{6 + 9}
= a¹⁵

(3)도 같은 건데, 밑이 a와 b로 달라요. 주의하세요.
(a²)³ × (b³)²
= (a^{2 × 3}) × (b^{3 × 2})
= a⁶ × b⁶
= a⁶b⁶

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정리해볼까요

지수법칙 (m, n이 자연수일 때)

• 밑이 같고, 거듭제곱의 곱: 밑은 그대로, 지수는 합
  a^m × aⁿ = a^{m + n}
• 거듭제곱의 거듭제곱: 밑은 그대로 지수는 곱
  (a^m)ⁿ = a^mn

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지수법칙 2