연속하는 자연수의 합 구하기
연속하는 자연수 10개의 합
재미있는 덧셈 하나 해볼까요?
아무 수나 상관없이 연속하는 자연수 10개를 더한 값을 쉽게 구할 수 있는 공식(?)이 있어요.
21부터 30까지 10개의 수를 더해볼까요?
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = ?
다섯 번째 수인 25를 기준으로 좌우 양쪽 수를 2개씩 더해보죠.
24 + 26 = 23 + 27 = 22 + 28 = 21 + 29 = 50
8개의 숫자를 더했고 여기에 다섯 번째 수인 25와 열 번째 수인 30까지 더해보죠.
50 × 4 + 30 + 25 = 255
다섯 번째 숫자인 25를 10배한 다음 5를 더한 것과 같죠?
25 × 10 + 5 = 255
💡 (보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?
중학교 1학년 일차방정식의 활용에서 연속하는 자연수 문제를 풀 때 어떻게 했나요? 연속하는 자연수 중 가운데 수를 x라고 놓고, 다른 수들은 x ± 1, x ± 2, …로 놓고 풀었었죠?
여기서도 마찬가지로 다섯 번째 수를 x라고 놓으면 10개 자연수의 합은
$$(x - 4) + (x -3) + (x - 2) + (x - 1) + x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5)\\ =10x + 5$$다섯번째 수인 x에 10을 곱하고 5를 더하면 되죠?
등차수열의 합을 이용해서 구하기
연속하는 자연수의 합이니까 등차수열이죠? $a_{5} = x$라고 해보죠.
$$a_{1} = x - 4\\a_{5} = x\\a_{10} = x + 5$$등차수열이니까 등차수열의 합 공식을 이용해서 구해보죠.
$$\begin{align} S_{n} &= \frac{n(a_{1} + l)}{2}\\ &= \frac{10(x - 4 + x + 5)}{2}\\ &= \frac{10(2x + 1)}{2}\\ &= 10x + 5 \end{align} $$연속하는 자연수의 합 규칙 찾기
그럼 이건 10개일 때만 가능한 방법일까요? 연속하는 자연수 5개, 6개, 7개일 때는 어떨까요?
같은 방법을 이용해보죠. 가운데 수를 x로 놓고, x ± 1, x ± 2, …로 놓아요.
- 연속하는 자연수 5개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25
= (21 + 25) + (22 + 24) + 23
= 46 × 2 + 23
= 23 × 4 + 23
= 23 × 5 - 연속하는 자연수 6개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26
= (21 + 26) + (22 + 25) + (23 + 24)
= 47 × 3
= 47 × (6 ÷ 2) - 연속하는 자연수 7개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27
= (21 + 27) + (22 + 26) + (23 + 25) + 24
= 48 × 3 + 24
= 24 × 6 + 24
= 24 × 7 - 연속하는 자연수 8개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28
= (21 + 28) + (22 + 27) + (23 + 26) + (24 + 25)
= 49 × 4
= 49 × (8 ÷ 2)
규칙이 보이나요? x 양쪽 혹은 x를 포함해서 짝지어진 수를 더하면 같은 값이 나오고 이걸 곱하면 공식을 얻을 수 있어요.
연속하는 자연수의 합
- 더하는 개수가 홀수(3, 5, 7...)일 때:
(가운데 수) × (자연수 개수) - 더하는 개수가 짝수(2, 4, 6...)일 때:
(가운데 수 두 수의 합) × (자연수 개수의 절반)
처음했던 21부터 10개의 숫자를 더해볼까요?
- 더하는 수가 10개로 짝수
- 가운데 두 수의 합 = 25 + 26 = 51
- 더하는 자연수 10개의 반 = 5
- 51 × 5 = 255
공식은 달랐지만 결과는 똑같죠?
실제로 계산을 하는 것도 재미있지만 이런 규칙을 찾는 과정도 재미있지 않나요?