피타고라수의 수 찾기

피타고라스의 수의 뜻과 특징, 종류에 대해 알아보고, 특징을 이용하여 새로운 피라타고스의 수 조합을 찾는 방법에 대해 설명합니다.

삼각형 세 변의 길이 a, b, c가 a² + b² = c²를 만족할 때, 이 삼각형은 직각삼각형이고, 이걸 피타고라스의 정리라고 하죠. 그리고 피타고라스의 정리를 만족하는 수들의 조합을 피타고라스의 수라고 해요.

피타고라스의 수 중에서 잘 알고 있는 게, (3, 4, 5), (5, 12, 13)이죠. 이거 말고 다른 수들의 조합도 찾아볼까요?

피타고라스의 수의 배수

피타고라스의 수에 적당한 수를 곱한 수들 역시 피타고라스의 수예요.

(3, 4, 5)뿐 아니라 여기에 2를 곱한 (6, 8, 10), 3을 곱한 (9, 12, 15), … 등이 피타고라스의 수예요.

마찬가지로 (5, 12, 13)뿐 아니라 여기에 2를 곱한 (10, 24, 26), 3을 곱한 (15, 336, 39), … 등이 피타고라스의 수예요.

세 변의 길이가 a, b, c면 a² + b² = c²이 성립해요.

삼각형을 m(m > 0)배 하면, 즉 세 변의 길이에 × m 하면, 세 변의 길이는 ma, mb, mc가 되겠죠?

1. (ma)² + (mb)² = (mc)²
2. m²a² + m²b² = m²c²
3. a² + b² = c²         (∵ 양변 ÷ m²)

3번 줄에서 등식의 성질을 이용해서 양변을 m²으로 나눴더니, 그대로 피타고라스의 정리가 성립하죠?

1부터 홀수를 연속 더해서

1부터 홀수를 연속더하면 벌어지는 일이라는 글에서 1부터 홀수를 연속해서 더하면 그 값은 (더한 숫자의 개수)²이 된다고 했어요.

1부터 홀수를 연속해서 5개를 더하면 그 값은 5²이고, 10개 더하면 그 값은 10², n개 더하면 n²이에요.

1. (1 부터 연속된 홀수 n개의 합) = n²
2. (1 부터 연속된 홀수 n개의 합) + (n + 1번째 홀수) = n² + (n + 1번째 홀수)
3. (1 부터 연속된 홀수 n개의 합) + (n + 1번째 홀수) = (n + 1)²

2번째 줄에서 양변에 (n + 1)번째 홀수를 더했어요.

(n + 1)번째 홀수를 더했으니까 전체 홀수의 개수가 (n + 1)개라서 3번 줄의 우변이 (n + 1)²이에요.

2, 3번째 줄의 좌변이 같으니까 우변끼리도 같다고 할 수 있죠?

n² + (n + 1번째 홀수) = (n + 1)²

여기서 (n + 1번째 홀수)가 5², 7², 9², 11², … 처럼 제곱인 홀수라면 (제곱) + (제곱) = (제곱)꼴이라서 피타고라스의 정리를 만족해요.

(n + 1)번째 홀수가 5² = 25라고 해보죠. 25는 13번째 홀수예요. n + 1 = 13이니까 n = 12를 위 식에 대입해보죠.

n² + (n + 1번째 홀수) = (n + 1)²
12² + 5² = 13²

즉, (5, 12, 13)이 피타고라스의 수라는 걸 알 수 있어요.

(n + 1)번째 홀수가 9² = 81일 때, 81은 41번째 홀수예요. n + 1 = 41, n = 40
40² + 9² = 41²

(9, 40, 41)도 피타고라스의 수네요.

(n + 1) 번째 홀수	n + 1	n	피타고라수의 수
32	5	4	(3, 4, 5)
52	13	12	(5, 12, 13)
72	25	24	(7, 24, 25)
92	41	40	(9, 40, 41)
112	61	60	(11, 60, 61)
…	…	…	…

곱셈공식의 변형을 이용해서

고등학교 때 공부하는 곱셈공식의 변형중에 이런 공식이 있어요.

(a + b)² = (a - b)² + 4ab

여기서도 4ab가 제곱인 수라면 (제곱) = (제곱) + (제곱)꼴이므로 피타고라스의 정리를 만족해요.

a = x², b = ²이라고하면,

1. (a + b)² = (a - b)² + 4ab
2. (x² + y²)² = (x² - y²)² + 4x²y²
3. (x² + y²)² = (x² - y²)² + (2xy)²

x, y에 아무 수나 대입해서 위 식을 만족하는 a + b, a - b, $\sqrt{4ab}$를 찾으면 그게 피타고라스의 수예요.

삼각형 변의 길이니까 a - b > 0죠? a > b, 즉 x > y이기만 하면 돼요.

a + b = x² + y²
a - b = x² - y²
$\sqrt{4ab}$ = 2xy

x	y	a + b (x2 + y2)	a - b (x2 - y2)	$\sqrt{4ab}$ (2xy)	피타고라수의 수
2	1	5	3	4	(3, 4, 5)
3	1	10	8	6	(6, 8, 10)
3	2	13	5	12	(5, 12, 13)
4	1	17	15	8	(8, 15, 17)
4	2	20	12	16	(12, 16, 20)
…	…	…	…	…	…

위 규칙에 따라서 직접 피타고라스의 수를 찾아보세요. 더 재미있을 거예요.