0.9999...가 1인 이유

0.9999...와 1이 같은 이유를 3가지 방법(등식의 성질, 순환소수를 분수로 나타내기, 등비수열의 합)으로 증명합니다.

“0.9999…가 1이랑 똑같다고? 말이 돼?“ “0.9999…는 1보다 0.0000…1이 더 작잖아“ 이런 생각하시죠?

그런데 진짜로 둘은 같아요. 3가지 방법으로 증명해보죠.

좀 더 쉬운 설명은 초등학생도 이해하는 0.9999...가 1인 이유에 있어요.

등식의 성질을 이용한 증명

중학교 1학년 수학 때 공부하는 등식의 성질을 이용하면 쉽게 증명할 수 있어요. 등식의 성질 중에 세번째 "등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다."는 성질이 있어요.

간단히 말해서

2 + 3 = 5
(2 + 3) ×  4 = 5 × 4

양변이 같은 등식에서 양변에 똑같이 4를 곱했더니 같은 상태가 그대로 유지되는 성질이에요.

$\frac{1}{3}$ = 0.3333...이에요. 양변에 3을 곱해보죠.

\[ \begin{align}\frac{1}{3}  \times 3 &= 0.3333... \times 3\\1 &= 0.9999...\end{align} \]

간단히 증명되죠?

순환소수를 분수로 나타내서 증명

중학교 2학년 때 공부하는 순환소수를 분수로 나타내기 를 이용해도 증명할 수 있어요.

x = 0.9999... 라고 하고, 양변에 10을 곱하면, 10x = 9.9999....가 되죠.

이 두 식을 빼요.

10x = 9.9999...
-) x = 0.9999...
  9x = 9
  x = 1

처음에 x = 0.9999... 라고 놓았으니 x = 0.999... = 1이에요.

등비수열의 합을 이용한 증명

등비수열의 합으로도 증명할 수 있어요.

0.9999....  = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ..... 로 쓸 수 있죠?

우변의 0.9, 0.09, 0.009, ...는 첫째항이 0.9고 등비가 0.1인 등비수열이에요. 이 등비수열의 합이 바로 0.9999...고요.

등비수열의 합을 구하면 되는데, 공식이 이렇게 되어 있어요.

첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫 1항부터 제 n항까지의 합
$$\frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$

여기서 n은 끝이 없는 무한한 수예요. 그래서 등비 0.1을 계속 곱하면 0이 돼요. rⁿ = (0.1)ⁿ = 0

합 공식에 대입해보죠.

\[ \begin{align}&\frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}\\&= \frac{0.9 (1 - 0)}{1 - 0.1}\\&= \frac{0.9}{0.9}\\&= 1\end{align} \]

세 가지 방법으로 0.999... = 1인 걸 증명해봤는데, 이해가 되셨나요?