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이차함수와 이차방정식은 참 많이 닮았어요. 그래서 이차함수의 그래프를 그리고 그 그래프를 통해서 이차방정식 실근의 개수를 알 수 있지요.

이 글에서는 이차함수의 그래프와 이차방정식 실근의 개수에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이차함수 그래프를 간략하게 그릴 줄 알고 이차함수와 이차방정식의 간단한 관계만 알면 금방 이해할 수 있는 내용이에요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프에서 그래프가 x축과 만나는 점이 있다고 해보죠. x축을 방정식으로 나타내면 y = 0이니까 교점에서의 x좌표를 구하려면 이차함수 식에 y = 0을 대입해서 구해요.

ax² + bx + c = 0이라는 식이 되고 여기서 구한 x가 이차함수 그래프와 x축의 교점의 x좌표예요. 그런데 이 식의 모양은 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 이차방정식이에요. 즉, 이차방정식의 해가 교점의 x좌표예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

교점의 x좌표와 해가 서로 같으니까 개수도 서로 같겠죠?

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축과의 교점이 2개면 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해도 두 개고, 교점이 하나면 해도 하나예요.

이차함수의 그래프와 x축과의 교점이 없으면 이차방정식의 해도 없어요. 좌표평면은 실수로만 이루어져 있으니까 정확히 말하면 실근이 없는 거죠. 수를 복소수까지 확장해보면 허근을 가져요.

이 얘기는 반대로도 할 수 있어요. 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해가 서로 다른 두 실근이면 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축이 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차방정식의 해가 중근이면 이차함수의 그래프와 x축은 한 점에서 만나요.

이차방정식이 실근을 가지지 않으면(서로 다른 두 허근을 가지면) 이차함수의 그래프와 x축은 만나지 않아요.

이차방정식이 실근을 몇 개 가지는지는 이차방정식의 판별식을 통해서 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0

D = b² - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0이면 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0이면 서로 다른 두 허근(실근 없음) ⇔ 만나지 않는다.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차함수의 그래프에서 이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + 2x + k + 2의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + 2x + k + 2 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = 2² - 4 × 1 × (k + 2) > 0
4 - 4k - 8 > 0
4k < -4
k < -1

k < -1이면 서로 다른 두 점에서 만나네요.

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일차방정식을 공부하고 나면 이차방정식을 공부했어요. 일차함수를 공부하고 나면 이차함수를 공부했고요. 일차부등식을 공부했지요? 그러니까 이제는 이차부등식을 공부할 차례예요.

이차부등식의 풀이는 일차부등식의 풀이와 많이 달라요. 오히려 이차방정식과 관련된 내용이 많이 나옵니다. 이차방정식에서 등호만 부등호로 바뀐 게 이차부등식이니까요. 앞서 공부했던 이차방정식의 여러 가지 특징을 잘 기억하세요.

이차부등식이 무엇인지 이차부등식의 해는 어떻게 구하는지 알아보죠.

이차부등식, 이차부등식의 해

모든 항을 좌변으로 이항했을 때 좌변의 최고차항이 이차인 부등식을 이차부등식이라고 해요. ax² + bx + c > 0으로 표시하죠. 이때 이차부등식이 되려면 a ≠ 0이어야 해요. 물론 부등호는 >, ≥ < ≤ 총 네 가지가 있고요.

이차방정식의 해를 구할 때 인수분해를 했었죠? 이차부등식의 해를 구할 때도 인수분해를 합니다.

1. 모든 항을 좌변으로 이항
2. 동류항 정리
3. 인수분해

일단 먼저 인수분해를 하세요. 다음 단계는 조금 복잡하니까 잘 보시고요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) > 0

이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) > 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. (x - α)와 (x - β)라는 두 식을 곱해서 양수가 되려면 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 해요.

• 둘 다 양수일 때, x - α > 0 and x - β > 0
  • x - α > 0
    x > α
  • x - β > 0
    x > β
  α < β 이므로 x > β
• 둘 다 음수일 때, x - α < 0 and x - β < 0
  • x - α < 0
    x < α
  • x - β < 0
    x < β
  α < β 이므로 x < α

α < β일 때,
(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β

이차식이 0보다 클 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)보다 작거나 큰 수(β)보다 큰 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) < 0

이번에는 이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) < 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. 두 식을 곱해서 음수가 되려면 두 식의 부호가 서로 반대여야 하죠.

• x - α > 0 and x - β < 0 일 때
  • x - α > 0
    x > α
  • x - β < 0
    x < β
  α < β 이므로 α < x < β
• x - α < 0 and x - β > 0 일 때
  • x - α < 0
    x < α
  • x - β > 0
    x > β
  α < β이므로 해 없음.

α < β일 때,
(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이차식이 0보다 작을 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)와 큰 수(β) 사이의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차항의 계수가 1일 때를 살펴봤는데요. 1이 아닐 때는 인수분해에만 영향을 미치지 해를 구하는 과정은 위와 똑같아요.

다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 3x + 2 < 0
(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0

이차부등식의 해를 구하려면 일단 인수분해를 하죠. 그리고 각 항을 0으로 만드는 두 수를 구하고요.

(1) x² - 3x + 2 < 0
(x - 1)(x - 2) < 0

이차식이 0보다 작으니까 좌변을 0으로 만드는 두 수에서 작은 것과 큰 것 사이의 해를 가져요. 이차식을 0이 되게 하는 수는 1과 2이므로 해는 1 < x < 2가 됩니다.

(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0
2(x² + 3x - 10) ≥ 0
2(x - 2)(x + 5) ≥ 0

앞에 있는 2는 양수라서 식의 부호에 영향을 미치지 않죠? 이차식이 0이 되는 수는 2, -5이고 이차식이 0보다 크네요. 이때는 작은 수보다 작고, 큰 수보다 큰 해를 가지므로 x ≤ -5 또는 x ≥ 2가 해입니다.

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방정식과 항등식, 등식의 뜻에서 등식과 방정식, 항등식에 대해서 공부했어요.

이제는 등식의 성질을 공부할 거예요. 등식의 특징이 있는데, 이 특징을 잘 이용하면 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있거든요. 앞으로 배울 단원이 일차방정식인 걸 고려하면 이 등식의 성질은 앞으로 계속해서 사용할 아주 중요한 성질이라는 알 수 있겠죠?

그렇다고 성질을 공식처럼 외울 필요는 없어요. 그 의미를 제대로 파악하고 실제 식에서 사용할 수 있으면 돼요.

등식의 성질

등식에는 아주 중요한 성질이 있어요. 이 성질은 꼭 알고 있어야 합니다.

참인 등식은 등호(=) 양쪽에 있는 좌변과 우변이 같아요.

2 + 3 = 5는 참인 등식이죠. 이 등식의 양변에 4를 더해볼까요?
2 + 3 + 4 = 5 + 4

양변에 똑같이 4를 더하면, 좌변, 우변의 값은 9로 달라지지만, 양쪽 모두 9니까 서로 같은 건 그대로죠. 만약에 양변에 똑같이 4를 뺀다면 어떨까요? 값은 1이 되지만 양변 모두 1이니까 양변이 같은 건 그대로 에요.

즉, 참인 등식에서 양변에 같은 수를 더하거나 빼더라도 그 등식은 계속 참인 거죠.

양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때뿐 아니라 같은 수를 곱하거나 나눌 때도 똑같아요. 이걸 등식의 성질이라고 해요.

등식의 성질

1. 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
   a = b이면 a + c = b + c
2. 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
   a = b이면 a - c = b - c
3. 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
   a = b이면 ac = bc
4. 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
   a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

한 가지 주의할 건 양변을 같은 수로 나눌 때 0으로 나누는 건 안 되요. 나눗셈은 분수로 바꿀 수 있는데, 분모가 0인 분수는 없으니까 0으로 나누는 경우는 없어요. 문제에서 "등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다."라는 말이 나오면 틀린 거예요.

등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이

등식의 성질이 왜 중요하면 방정식을 풀 때 이용하기 때문이에요.

방정식의 해를 구할 때, x = 1, 2, 3, …처럼 숫자를 하나씩 넣으면서 구할 수는 없어요. 해가 1, 2, 3안에 있으면 괜찮지만 100일 수도 있고, -1일 수도 있잖아요. 혹은 일 수도 있고요.

이때, 등식의 성질을 이용하면 방정식의 해를 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

4x + 2 = -10이라는 방정식이 있다고 해보죠. x = (숫자) 꼴로 나타내면 미지수 x의 값을 구할 수 있죠? 이 미지수 x의 값이 방정식의 해고요. 방정식의 좌변에 x만 남도록 식의 모양을 바꿔보죠.

4x + 2 = -10에서 좌변에서 일단 2를 없애보죠. 2를 없애려면 2를 빼면 되는데, 좌변에서 2를 빼면, 우변에도 똑같이 2를 빼줘야 등식이 성립해요.
4x + 2 = -10
4x + 2 - 2 = -10 - 2        (등식의 양변에서 똑같은 수를 빼도 등식은 성립한다.)
4x = -12

이제 좌변에 4x만 남았네요. 4x는 원래는 4 × x로 곱셈기호가 생략된 거예요. 4로 나눠주면 x만 남겠죠? 좌변을 4로 나누면 우변도 4로 나눠줘야 등식이 성립해요.
4x = -12
4x ÷ 4 = -12 ÷ 4           (등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.)
x = -3

해를 구했어요.

등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이
x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾼다.
x가 없는 항을 먼저 정리하고, 마지막에 x의 계수로 양변을 나눈다.

등식의 성질을 이용하여 다음 방정식을 풀어라.
(1) -3x + 2 = 8
(2) 5x - 5 = 30

x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾸는데, 이때 등식의 성질을 이용해요.

(1)에서 먼저 2를 없앤 다음에, x에 곱해져 있는 (-3)을 없애야겠네요.
-3x + 2 = 8
-3x + 2 - 2 = 8 - 2
-3x = 6
-3x ÷ (-3) = 6 ÷ (-3)
x = -2

(2) 5x - 5 = 30
5x - 5 + 5 = 30 + 5
5x = 35
5x ÷ 5 = 35 ÷ 5
x = 7

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이번 글은 아주아주 중요합니다. 앞으로 배울 수학에서 가장 기본이 되는 식을 배울 거거든요. 여기서 공부할 방정식은 앞으로 배울 부등식, 함수 등 모든 식의 기본이 되는 식이에요.

다만 한가지 다행인 건 우리가 이제까지 알게 모르게 해왔던 것 과정이라는 거지요. 이름을 몰랐을 뿐이고, 그 정확한 정의를 몰랐을 뿐이에요.

방정식과 항등식은 비슷해 보이지만 다른 식이에요. 둘을 구별할 수 있도록 차이를 잘 비교해보세요.

등식

2 + 3을 계산해보세요. 2 + 3 = 5 이렇게 계산할 거예요.

위 계산에서 = 라는 기호를 사용했어요. 등호라고 부르는 이 기호는 = 양쪽이 서로 같다는 뜻이에요.

등식은 등호(=)의 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이에요. 등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽은 우변이라고 부르고, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 불러요.

식에 등호가 있으면 식이 맞든 틀리든 상관없이 등식이라고 해요. 식이 맞으면 참인 등식, 틀리면 거짓인 등식이라고 해요.

2 + 3 = 6이라는 식이 있어요. 좌변과 우변이 다른데, 등호를 써서 같다고 했으니 잘못된 식이죠? 이게 바로 거짓인 등식이에요.

방정식과 항등식

방정식

문자와 식에서 문자를 사용해서 식을 세울 수 있다고 공부했어요. 문자를 왜 쓰나요? 모르는 어떤 수를 □라고 쓰는 대신 문자로 썼었죠? 이 모르는 수를 미지수라고 합니다. 미지수는 보통 x를 쓰지만 정해진 건 아니니까 아무 문자나 사용해도 상관없어요.

예전 같으면 "□ + 3 = 5에서 □는 2입니다." 했다면 이제는 "x + 3 = 5에서 x = 2입니다."로 바뀐 것뿐이에요.

방정식은 미지수가 있어서, 그 미지수에 따라 식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 등호와 미지수가 같이 있어야 해요.

x + 3 = 5에서
x가 1이면 좌변은 4, 우변은 5여서 이 식은 거짓이에요.
x가 2면 좌변과 우변이 모두 5로 같지요. 이때 식은 참이에요.
x가 3이면 좌변이 6, 우변은 5여서 거짓이 되지요.

미지수 x에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하니까 x + 3 = 5는 방정식이라고 할 수 있는 거지요.

방정식이 참이 될 때의 미지수를 방정식의 해 또는 방정식의 근이라고 해요. x + 3 = 5에서는 x가 2일 때, 식이 참이었으니 이 방정식의 해는 2에요.

문제의 답을 구하는 걸 문제를 푼다고 하지요? 방정식에서 해를 찾는 걸 방정식을 푼다고 해요.

방정식: 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
방정식의 해: 방정식을 참이 되게 하는 미지수. 방정식의 근
방정식을 푼다: 방정식의 해를 구하는 것.

항등식

항등식은 미지수에 어떤 수를 대입해도 참이 되는 등식이에요. 항상 참인 등식이죠.

x + 1 = 1 + x라는 식에서
x = 1이면 좌변과 우변이 모두 2로 같아요. 참이죠.
x = 2이면 좌변과 우변 모두 3으로 같아요. 역시 참이에요.

x + 1 = 1 + x는 x에 어떤 값을 넣어도 참이 돼요. 항등식이죠.

방정식과 항등식 구별 

x + 1 = 1 + x을 보세요. 좌변 x + 1은 덧셈에 대한 교환법칙에 의해서 1 + x와 같죠. 결국, 좌변과 우변이 모두 1 + x에요. 양변이 서로 같으니까 항등식인 거죠.

x + x = 2x라는 식도 한 번 볼까요. 좌변을 동류항 덧셈을 해보면 2x가 돼요. 이건 우변인 2x와 같은 식이죠. 그래서 이 등식은 항등식이 되는 거예요.

x + 3 = 5라는 등식에서 좌변은 식을 더는 바꿀 수 없죠? 그 상태에서 좌변과 우변의 식이 달라요. 그래서 이 등식은 항등식이 아니라 방정식인 거예요.

다음 중 방정식과 항등식을 모두 고르시오.
(1) 2x + 3 = 3 + 2x
(2) 2x - 1 < 5
(3) 2x - x = x
(4) 3 + 5 = 8
(5) 2x - 4 = 6

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식이에요. 항등식은 항상 참인 등식으로 좌변과 우변이 같은 식으로 되어 있어요.

(1) 2x + 3 = 3 + 2x은 좌변의 2x + 3을 교환법칙에 따라 자리를 바꾸면 3 + 2x가 되어 우변과 같은 식이 되므로 항등식이에요.

(2) 2x - 1 < 5은 등호가 아니라 부등호가 있어서 등식이 아니에요.

(3) 2x - x = x에서 좌변 2x - x를 동류항 계산해보면 x가 되어 우변과 같으므로 이 식은 항등식이네요.

(4) 3 + 5 = 8은 미지수가 없네요. 미지수가 없으니까 방정식도 아니고 항등식도 아닌 그냥 등식입니다.

(5) 2x - 4 = 6은 미지수 x가 있지만, 좌변과 우변이 서로 다르고 x = 5일 때만 참이 되는 방정식이네요.

따라서 방정식은 (5)이고, 항등식은 (1), (3) 입니다.

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연립방정식이라는 용어가 조금 생소하죠? 연립방정식은 2개 이상의 방정식을 묶어놓은 걸 말해요. 연립방정식의 해는 묶여있는 방정식을 모두 만족시키는 미지수의 값입니다.

우리가 배울 연립방정식은 미지수가 2개인 방정식 2개를 묶어놓은 방정식이에요. 각각의 방정식의 해를 구한 다음에 양쪽 모두를 만족시키는 해, 즉 양쪽 모두에 포함된 해를 찾으면 됩니다.

예제를 하나 풀어보죠.

다음 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.

먼저 첫 번째 방정식의 해를 구해보죠. x, y가 자연수라고 했으니까

• x = 1일 때 y = 4
• x = 2일 때 y = 3
• x = 3일 때 y = 2
• x = 4일 때 y = 1

총 네 개가 나오네요. 순서쌍으로 표시하면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)가 되겠고요.

두 번째 방정식의 해는

• x = 4일 때 y = 1
• x = 5일 때 y = 2
• x = 6일 때 y = 3
• x = 7일 때 y = 4
• …

계속해서 나오는군요. 순서쌍으로 표시하면 (4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), … 이렇게 되겠죠.

연립방정식의 해는 묶여 있는 식을 모두 만족시키는 해. 즉 공통근을 구해야 해요. 양쪽 모두에 (4, 1)이 들어있으니까 이 연립방정식의 해는 (4, 1)이 되는 걸 알 수 있어요. 다르게 표현하면 x = 4, y = 1이라고 해도 좋고요.